Logarithmisches Mittel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.

Das logarithmische Mittel M_\text{lm} zweier verschiedener positivreeller Zahlen x,y ist gegeben durch

M_\text{lm}(x,y)=\frac{y-x}{\ln\frac yx}=\frac{y-x}{\ln y-\ln x}

Um auch den Fall x=y zu erfassen, definiert man allgemeiner

M_\text{lm}(x,y)=\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}\frac{\eta-\xi}{\ln\eta-\ln\xi}

Dann ist M_\text{lm}(x,x)=x.

Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton steigende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

\sqrt{x\cdot y} \le \frac{y - x}{\ln y - \ln x} \le \frac{x+y}{2}[1]

Diese Gleichung gilt für x,y>0; Gleichheit genau dann, wenn x=y.

Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Es tritt meist dann auf, wenn über treibende Gefälle gemittelt wird. Dies ist zum Beispiel bei der integralen Betrachtung von Wärme- oder Stofftransportprozessen der Fall, beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Wärmetauschern oder Trennkolonnen.

Analysis[Bearbeiten]

Mittelwertsatz[Bearbeiten]

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion f:[x,y]\rightarrow \R ein \xi\in[x,y] mit

f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.

Für f(x)=\ln\,x erhält man daraus

\frac1\xi=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}\,\,, also \xi=\frac{x-y}{\ln x-\ln y}.

Das \xi ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus x und y.

Integration[Bearbeiten]

Außerdem erhält man für die Integration

\begin{array}{rcl}
    \int\limits_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t
&=& \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t x\ \mathrm{d}t \\
&=& x \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t \mathrm{d}t \\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}\right)^t|_{t=0}^{1}\\
&=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}-1\right)\\
&=& \frac{y-x}{\ln y - \ln x}.
\end{array}

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Mehrere Variablen[Bearbeiten]

Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist

L_{\mathrm{MV}}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{(n+1)}\cdot n \cdot \ln[x_0,\dots,x_n]}

wobei \ln[x_0,\dots,x_n] die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.

Für n=2, also für drei Variablen, führt dies zu

L_{\mathrm{MV}}(x,y,z) = \sqrt{\frac{(x-y)\cdot(y-z)\cdot(z-x)}{2\cdot((y-z)\cdot\ln x + (z-x)\cdot\ln y + (x-y)\cdot\ln z)}}.

Verallgemeinert man das Integral zu

L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = \int_S x_0^{\alpha_0}\cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha

mit S = \{(\alpha_0,\dots,\alpha_n)| \alpha_0+\dots+\alpha_n=1\ \land\ \alpha_0\ge0\ \land\ \dots\ \land\ \alpha_n\ge0\} erhielte man

L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = n!\cdot\exp[\ln x_0, \dots, \ln x_n]

und als Spezialfall für drei Variablen

L_{\mathrm{I}}(x,y,z) = -2\cdot\frac{x\cdot(\ln y-\ln z) + y\cdot(\ln z-\ln x) + z\cdot(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot(\ln y-\ln z)\cdot(\ln z-\ln x)}.

Eine andere Idee ist

\exp\left(\frac{\ln(x_1)+\ln(x_2)+\cdots+\ln(x_n)}{n}\right)[2]

Andere Mittelwerte[Bearbeiten]

Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

Quellen[Bearbeiten]

  • Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986. springerlink-PDF
  • A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104
  • Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld
  2. http://www.everything2.com/index.pl?node_id=801020