Lokal konstante Funktion

In der Mathematik heißt eine Funktion $f: T \to M$ von einem topologischen Raum $T$ in eine Menge $M$ lokal konstant, wenn für jedes $x \in T$ eine Umgebung $U$ von $x$ existiert, auf der $f$ konstant ist.

Eigenschaften

• Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
• Jede lokal konstante Funktion von $\mathbb R$ in eine beliebige Menge $M$ ist konstant, da $\mathbb R$ zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
• Jede lokal konstante holomorphe Funktion $f: M \to \mathbb C$ von einer offenen Menge $M$ in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn $M$ ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
• Eine Abbildung $f: T \to D$ von einem topologischen Raum $T$ in einen diskreten Raum $D$ ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
• Jede Abbildung $f: D \to T$ von einem diskreten Raum $D$ in einen beliebigen topologischen Raum $T$ ist lokal konstant.
• Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

• Die Funktion $f: \mathbb Q \to \mathbb Q$, definiert durch $f(x)=0$ für $x < \pi$ und $f(x)=1$ für $x > \pi$ ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass $\pi$ irrational ist, da so $\{x | x < \pi\}$ und $\{x | x > \pi\}$ offene Mengen sind, die $\mathbb Q$ überdecken.)
• Die Funktion $g: \R \setminus\{0\} \to \R$, definiert durch $g(x)=0$ für $x < 0$ und $g(x)=1$ für $x > 0$, ist ebenso lokal konstant.
• Die Signum-Funktion ist nicht lokal konstant.
• Treppenfunktionen sind nicht lokal sondern stückweise konstant