Lucas-Carmichael-Zahl

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Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt.

Definition[Bearbeiten]

Eine quadratfreie ungerade natürliche Zahl n heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie mindestens drei Primteiler besitzt, und für jeden Primteiler p der Zahl n gilt: p+1 teilt n+1.

Beispiel[Bearbeiten]

3·7·19 = 399 und

(3+1) teilt (399+1)
(7+1) teilt (399+1)
(19+1) teilt (399+1)

Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen[Bearbeiten]

Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):

399 = 3 · 7 · 19
935 = 5 · 11 · 17
2015 = 5 · 13 · 31
2915 = 5 · 11 · 53
4991 = 7 · 23 · 31
5719 = 7 · 19 · 43
7055 = 5 · 17 · 83
8855 = 5 · 7 · 11 · 23
12719 = 7 · 23 · 79
18095 = 5 · 7 · 11 · 47
20999 = 11 · 23 · 83
22847 = 11 · 31 · 67
29315 = 5 · 11 · 13 · 41
31535 = 5 · 7 · 17 · 53
46079 = 11 · 59 · 71
51359 = 7 · 11 · 23 · 291
76751 = 23 · 47 · 71
80189 = 17 · 53 · 89
81719 = 11 · 17 · 19 · 23
88559 = 19 · 59 · 79
104663 = 13 · 83 · 97

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Aufgrund der Identität n+1 = -n/p + 1 + (p+1)·n/p gilt für jeden Primteiler p einer natürlichen Zahl n:

n+1-n/p + 1 mod p+1.

Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl n genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: p+1 teilt n/p - 1.

Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen, jedoch sind sie keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen. Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.