Lucas-Carmichael-Zahl

Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt.

Definition

Eine quadratfreie ungerade natürliche Zahl n heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie mindestens drei Primteiler besitzt, und für jeden Primteiler p der Zahl n gilt: p + 1 teilt n + 1.

Beispiel

3·7·19 = 399 und

(3+1) teilt (399+1)

(7+1) teilt (399+1)

(19+1) teilt (399+1)

Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.

Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen

Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (Folge A006972 in OEIS):

399 3·7·19 935 5·11·17 2015 5·13·31 2915 5·11·53 4991 7·23·31 5719 7·19·43 7055 5·17·83

8855 5·7·11·23 12719 7·23·79 18095 5·7·11·47 20999 11·23·83 22847 11·31·67 29315 5·11·13·41 31535 5·7·17·53

46079 11·59·71 51359 7·11·23·291 76751 23·47·71 80189 17·53·89 81719 11·17·19·23 88559 19·59·79 104663 13·83·97

Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588455 = 5·7·17·23·43.

Eigenschaften

Aufgrund der Identität n+1 = -n/p + 1 + (p+1)·n/p gilt für jeden Primteiler p einer natürlichen Zahl n:

n+1 ≡ -n/p + 1 mod p+1.

Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl n genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: p+1 teilt n/p - 1.

Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen, jedoch sind sie keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen. Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.