Lyot-Filter

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Das nach seinem Erfinder, dem französischen Astronomen Bernard Ferdinand Lyot, benannte Lyot-Filter ist ein optisches Filter, das Doppelbrechung nutzt, um einen schmalen Durchlassbereich der übertragenen Wellenlängen zu erzeugen. Der Anwendungsbereich des Lyot-Filters sind die Astronomie, die Laserphysik, um durchstimmbare Laser zu realisieren, sowie die optische Datenübertragung.

Aufbau[Bearbeiten]

Ein Lyot-Filter besteht aus einem doppelbrechenden Kristall, normalerweise Quarz, und einem nachfolgenden Polarisationsfilter. Um den freien Spektralbereich zu erhöhen werden mehrere Lyot-Filter hintereinander geschaltet. Dabei wird die Dicke der Kristallplatten bei jedem nachfolgenden Filter halbiert.

Physikalisches Prinzip[Bearbeiten]

Prinzipskizze eines Lyot-Filters. Zur Erklärung siehe Text

Auf Grund der doppelbrechenden Eigenschaften der Platten unterliegen die ordentlichen und außerordentlichen Komponenten eines Lichtstrahls unterschiedlichen Brechungsindizes auf und besitzen deshalb unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten. Dies führt für unterschiedliche Wellenlängen zu unterschiedlichen Phasendifferenzen \delta zwischen ordentlichem und außerordentlichem Strahl nach Durchlaufen des Kristalls. Betrachtet man linear polarisiertes Licht das auf das Filter trifft, so wird das Licht durch die Platte im Allgemeinen elliptisch polarisiert. Nur wenn die Phasendifferenz beider Teilstrahlen \delta=m\cdot 2\pi entspricht, ist das Licht hinter dem Filter wieder in gleicher Weise linear polarisiert (m ist eine natürliche Zahl). Dies ist nur bei bestimmten Wellenlängen der Fall.

Die Feldstärke \vec{E}(x,t)=\vec{E}_0\cos(\omega t-kx) wird in die Komponenten parallel zur optischen Achse (außerordentlicher Strahl) und senkrecht zur optischen Achse (ordentlicher Strahl) zerlegt

\vec{E_0}=E_{0}\cos(\alpha)\vec{e}_z+E_{0}\sin(\alpha)\vec{e}_y=E_{0z}\vec{e}_z+E_{0y}\vec{e}_y.

Wenn der doppelbrechende Kristall so in den Strahlengang gestellt wird, dass er bei x=0 beginnt und bei x=L endet und seine optische Achse mit der z-Achse übereinstimmt, so wird die Feldstärke hinter dem Kristall durch


\vec{E}(t,L)=E_{0z}\cos(\omega t-k n_0L)\vec{e}_z+E_{0y}\cos(\omega t-k n_a L)\vec{e}_y

beschrieben. Dabei ist k die Wellenzahl und n_0 der Brechungsindex des ordentlichen sowie n_a der Brechungsindex des außerordentlichen Strahls.

Durch Vergleich mit der Feldstärke vor dem Auftreffen auf den Kristall folgt die Phasendifferenz der beiden Teilstrahlen:

\delta=k(n_0 -n_a)L=\frac{2\pi}{\lambda}(n_0-n_a)L.

Das Licht ist nach dem Durchlaufen des Kristalls nur im gleichen Polarisationszustand wie beim Einfall, wenn \delta=m\cdot2\pi gilt. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung

\frac{2\pi}{\lambda}(n_0-n_a)L=m 2\pi
\Leftrightarrow \lambda=\frac{L(n_0-n_a)}{m}.

Der nachfolgende Polarisationsfilter schwächt also alle Anteile des Lichts, die nicht diese Wellenlänge haben. Der Lyot-Filter ist also ein wellenlängenabhängiger optisches Filter. Sei nun \varphi, der Winkel des Polarisationsfilters, so eingestellt, dass das linear polarisierte Licht \vec{E} optimal durchgelassen wird. Wenn nun der Polarisationsfilter um \varphi gedreht wird, so wird nur noch die Komponente |\vec{E}|\cdot \cos(\varphi) durchgelassen bzw. die Intensität

 I=|\vec{E}|^2\cos^2(\varphi).

Außerdem sei nun I die Intensität des Lichts hinter und I_0 die Intensität vor dem Lyot-Filter. Die Transmission T=\frac{I}{I_0}=\frac{|\vec{E}|^2}{|\vec{E}_0|^2} ergibt sich nach kurzer Rechnung zu


 T(\lambda)=\cos^2\left(\frac{\pi L(n_0-n_a)}{\lambda}\right)

bzw.


 T(\nu)=\cos^2\left(\frac{\pi L(n_0-n_a)\nu}{c}\right).

Der freie Spektralbereich \Delta\nu ergibt sich aus dem Abstand zweier Maxima zu


\Delta \nu=\frac{c}{L(n_0-n_a)}.

Hintereinander geschaltete Lyot-Filter[Bearbeiten]

Transmission hintereinandergeschalteter Lyot-Filter. Die Dicke des doppelbrechenden Kristalls halbiert sich bei jedem nachfolgenden Filter

Die totale Transmission von M hintereinander geschalteten Filtern ergibt sich aus den Einzeltransmissionen T_m:

T_{tot}(\lambda)=\prod \limits_{m=1}^{M}T_m(\lambda).

Im nebenstehenden Bild wurden vier Lyot-Filter hintereinander geschaltet. Dabei wurde die Dicke der Platten (doppelbrechender Kristall) bei jedem weiteren Filter halbiert.

Durchstimmbarkeit des Lyot-Filters[Bearbeiten]

Die durchgelassenen Wellenlängen eines Lyot-Filters sind durch L, die Dicke des Kristalls und n_0 bzw. n_a, die Brechungsindizes des ordentlichen und außerordentlichen Strahls des doppelbrechenden Materials, festgelegt. Werden diese Parameter verändert, so ändert sich der Durchlassbereich des Filters.

Am einfachsten lässt sich der Lyot-Filter verstimmen, indem der Kristall um die z-Achse gedreht wird, was zu einer Änderung von L führt. Handelt es sich beispielsweise um einen würfelförmigen Kristall, so ist L minimal wenn das Licht senkrecht auf eine Seitenfläche trifft. Wird der Kristall um die z-Achse gedreht, so muss das Licht eine größere Strecke im Kristall durchlaufen, was zu einer Änderung der Phasendifferenz der beiden Teilstrahlen führt und damit zu einer Änderung des Durchlassbereiches des Filters.

Durch Drehung des Kristalls um den Winkel \vartheta um die x-Achse, verändert sich das Transmissionsmaximum \lambda_m=\frac{L(n_0-n_a)}{m} des Lyot-Filters, da n_0 unabhängig aber n_a abhängig von \vartheta ist (Brechungsindexellipsoid).

Die Verwendung von elektrisch veränderbaren Doppelbrechungselementen (z. B. Flüssigkristallen) ergibt ein „elektrisch abstimmbares Lyot-Filter“. Durch Variation der Feldstärke eines äußeren elektrischen Feldes ändert sich der Brechungsindex spezieller Kristalle wie KDP (Kaliumdihydrogenphosphat) durch den elektrooptischen Effekt. Dies führt wiederum zu einem verstimmbaren Lyot-Filter, wobei der durchstimmbare Bereich klein ist.

Literatur[Bearbeiten]