Möbiusfunktion

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Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall eines allgemeineren Gegenstandes der Kombinatorik.

Definition[Bearbeiten]

Der Wert \mu(n) ist für alle natürlichen Zahlen n definiert und nimmt Werte aus der Menge \{-1, 0, 1\} an. Dabei hängen die Funktionswerte von der Primfaktorzerlegung von n ab. Die Möbiusfunktion ist wie folgt definiert:

\mu(n)=\begin{cases}(-1)^k & \mbox{wenn } n \mbox{ quadratfrei, } k \mbox{ ist die Anzahl der Primfaktoren} \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}

Der Funktionswert \mu(0) bleibt im Allgemeinen undefiniert.

Anmerkung: Eine Zahl wird als quadratfrei bezeichnet, wenn sie keinen Teiler hat, der das Quadrat einer natürlichen Zahl größer 1 ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass jeder Primfaktor nur genau einmal vorkommt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Möbiusfunktion ist das zur Eins-Funktion inverse Element bezüglich der dirichletschen Faltung.
  • Für alle Primzahlen gilt μ(n) = -1.
  • Für alle Quadratzahlen gilt μ(n) = 0.
  • μ(n) ist multiplikativ, d.h. μ(a·b) = μ(a)·μ(b) für a und b teilerfremd
  • Für die summatorische Funktion der Möbiusfunktion gilt für n \geq 2:
\sum\limits_{d|n}\mu(d)=0

wobei die Summe über alle Teiler von n läuft. Hieraus folgt auch die Möbiussche Umkehrformel.

Beispiele und Werte[Bearbeiten]

  • μ(7) = -1, da 7 eine Primzahl ist.
  • μ(66) = (-1)3 = -1, da 66 = 2 · 3 · 11.
  • μ(18) = 0, da 18 = 2 · 32 nicht quadratfrei ist.

Die ersten 20 Werte der μ-Funktion lauten (Folge A008683 in OEIS):

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
μ(n) 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 -1 1 1 0 -1 0 -1 0
\scriptstyle \mu(n) = -1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, … (Folge A030059 in OEIS)
\scriptstyle \mu(n) = 0 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36 ... (Folge A013929 in OEIS)
\scriptstyle \mu(n) = 1 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39 ... (Folge A030229 in OEIS)

Abbildung der ersten 50 Werte der Möbiusfunktion: Die ersten 50 Werte der Möbiusfunktion

Mertens-Funktion[Bearbeiten]

Die nach Franz Mertens benannte Mertens-Funktion M(n) stellt eine Summation über die Möbiusfunktion μ(k) dar:

M(n) = \sum_{k=1}^n \mu(k)

Dies entspricht der Differenz aus quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zu solchen mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl n. Die Mertens-Funktion ozilliert scheinbar chaotisch.

Nulldurchgänge der Mertens-Funktion finden sich bei:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... (Folge A028442 in OEIS).

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3540764908