Maß (Mathematik)

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Ein Maß ordnet Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zu. Das Bild illustriert die Monotonieeigenschaft von Maßen, das heißt größere Mengen haben auch ein größeres Maß.

Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der Länge einer Strecke, dem Flächeninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines Körpers nahegelegt werden.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der allgemeine Maßbegriff geht zurück auf Arbeiten von Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon und Maurice René Fréchet. Dabei stehen Maße stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Maße. Dort werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Einführung und Geschichte[Bearbeiten]

Der elementargeometrische Flächeninhalt ordnet ebenen geometrischen Figuren wie Rechtecken, Dreiecken oder Kreisen, also gewissen Teilmengen der euklidischen Ebene, Zahlenwerte zu. Flächeninhalte können gleich null sein, beispielsweise bei der leeren Menge, aber auch bei einzelnen Punkten oder bei Strecken. Auch der „Wert“ \infty (unendlich) kommt z. B. bei Halbebenen oder dem Äußeren von Kreisen als Flächeninhalt vor. Allerdings dürfen keine negativen Zahlen als Flächeninhalte auftreten.

Abzählbare Additivität eines Maßes \mu: Das Maß einer abzählbaren disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe über die Maße der einzelnen Teilmengen.

Weiterhin besitzt der Flächeninhalt ebener geometrischer Figuren eine Eigenschaft, die Additivität genannt wird: Zerlegt man eine Figur in zwei oder mehr Teile, beispielsweise ein Rechteck mittels einer Diagonale in zwei Dreiecke, dann ist der Flächeninhalt der Ausgangsfigur die Summe der Flächeninhalte der Teile. „Zerlegen“ bedeutet hier, dass die Teile paarweise disjunkt sein müssen (je zwei Teile haben also keine gemeinsamen Punkte) und dass die Vereinigung aller Teile die Ausgangsfigur ergibt. Für die Messung von Flächeninhalten komplizierterer Figuren, wie Kreisflächen oder Flächen, die zwischen Funktionsgraphen eingeschlossen sind (also für die Berechnung von Integralen), müssen Grenzwerte von Flächeninhalten betrachtet werden. Dazu ist es wichtig, dass die Additivität auch dann noch gilt, wenn Flächen in eine Folge von paarweise disjunkten Teilflächen zerlegt werden. Diese Eigenschaft wird abzählbare Additivität oder σ-Additivität genannt.

Henri Léon Lebesgue

Die Bedeutung der σ-Additivität für den Maßbegriff wurde erstmals von Émile Borel erkannt, der 1894 bewies, dass die elementargeometrische Länge diese Eigenschaft besitzt. Das eigentliche Maßproblem formulierte und untersuchte Henri Lebesgue im Jahre 1902 in seiner Doktorarbeit: Er konstruierte ein σ-additives Maß für Teilmengen der reellen Zahlen (das Lebesgue-Maß), das die Länge von Intervallen fortsetzt, allerdings nicht für alle Teilmengen, sondern für ein System von Teilmengen, die er messbare Mengen nannte.[1] Im Jahre 1905 zeigte Giuseppe Vitali, dass eine konsistente Erweiterung des Längenbegriffs auf alle Teilmengen der reellen Zahlen unmöglich ist, also dass das Maßproblem nicht lösbar ist.[2]

Da wichtige Maße, wie eben das Lebesgue-Maß, nicht für alle Teilmengen (also auf der Potenzmenge) der Grundmenge definiert werden können, müssen geeignete Definitionsbereiche für Maße betrachtet werden. Die σ-Additivität legt es nahe, dass Systeme messbarer Mengen abgeschlossen gegenüber abzählbaren Mengenoperationen sein sollten. Das führt auf die Forderung, dass die messbaren Mengen eine σ-Algebra bilden müssen. Das heißt: Die Grundmenge selbst ist messbar und Komplemente sowie abzählbare Vereinigungen messbarer Mengen sind wiederum messbar.

In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im d-dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße. Maurice René Fréchet betrachtete ab 1915 auch Maße und Integrale auf beliebigen abstrakten Mengen. Im Jahre 1933 veröffentlichte Andrei Kolmogorow sein Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in dem er Maßtheorie verwendet, um eine strenge axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie zu geben (siehe auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung).[3]

Definition[Bearbeiten]

Es sei \mathcal{A} eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge \Omega. Eine Funktion \mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty] heißt Maß auf \mathcal{A}, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • \mu (\emptyset) = 0
  • σ-Additivität: Für jede Folge (A_n)_{n\in\N} paarweise disjunkter Mengen aus \mathcal{A} gilt \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Ist die σ-Algebra aus dem Zusammenhang klar, so spricht man auch von einem Maß auf \Omega.

Eine Teilmenge von \Omega, die in \mathcal{A} liegt, wird messbar genannt. Für solch ein A \in \mathcal{A} heißt \mu(A) das Maß der Menge A. Das Tripel (\Omega, \mathcal{A}, \mu) wird Maßraum genannt. Das Paar (\Omega, \mathcal{A}) bestehend aus der Grundmenge und der darauf definierten σ-Algebra heißt Messraum oder auch messbarer Raum. Ein Maß \mu ist also eine auf einem Messraum definierte nicht-negative σ-additive Mengenfunktion mit \mu(\emptyset) = 0.

Das Maß \mu heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (oder normiertes Maß), wenn zusätzlich \mu(\Omega) = 1 gilt. Ein Maßraum (\Omega, \mathcal{A}, \mu) mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß \mu ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ist allgemeiner \mu(\Omega) < \infty, so nennt man \mu ein endliches Maß. Existieren abzählbar viele Mengen, deren Maß endlich ist und deren Vereinigung ganz \Omega ergibt, dann wird \mu ein σ-endliches (oder σ-finites) Maß genannt.[4]

Anmerkungen und erste Beispiele[Bearbeiten]

  • Ein Maß nimmt also nicht-negative Werte aus den erweiterten reellen Zahlen \bar{\R} an. Für das Rechnen mit \infty gelten die üblichen Konventionen, zusätzlich ist es nützlich 0 \cdot (\pm \infty) := 0 zu setzen.
  • Da alle Summanden der Reihe \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n) nicht-negativ sind, ist diese entweder konvergent oder divergiert gegen +\infty.
  • Die Forderung, dass die leere Menge das Maß null besitzt, schließt den uninteressanten Fall \mu(A)=\infty für alle A \in \mathcal{A} aus. In der Tat lässt sich die Forderung \mu(\emptyset) = 0 äquivalent ersetzen durch die Bedingung, dass ein A \in \mathcal{A} existiert mit \mu(A) < \infty.[5] Dagegen sind die trivialen Fälle \mu(A) := 0 für alle A \in \mathcal{A} (das sogenannte Nullmaß) sowie \mu(A) := \infty für alle A \in \mathcal{A} \setminus \{\emptyset\} (und \mu(\emptyset) := 0) Maße im Sinne der Definition.
  • Für ein Element x \in \Omega wird durch
 \delta_x(A) :=
\begin{cases} 
1\ , & \text{falls } x \in A\ , \\ 
0\ , & \text{sonst}  
\end{cases}
für A \in \mathcal{A} ein Maß definiert. Es wird Diracmaß an der Stelle x genannt und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
  • Die Abbildung \mu\colon \mathcal{A} \to [0,\infty], die jeder endlichen Menge A \in \mathcal{A} die Anzahl ihrer Elemente, also ihre Mächtigkeit |A|, sowie den unendlichen Mengen in \mathcal{A} den Wert \infty zuweist, heißt Zählmaß. Das Zählmaß ist ein endliches Maß, wenn \Omega eine endliche Menge ist, und ein σ-endliches Maß, wenn \Omega höchstens abzählbar ist.
  • Das d-dimensionale Lebesgue-Maß \lambda ist ein Maß auf der σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Teilmengen von \R^d. Es ist eindeutig bestimmt durch die Forderung, dass es den d-dimensionalen Hyperrechtecken ihr Volumen zuordnet:
\lambda([a_1, b_1]\times\dotsb\times[a_d, b_d]) = (b_1-a_1)\dotsm(b_d-a_d).
Das Lebesgue-Maß ist nicht endlich, aber σ-endlich.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Direkt aus der Definition ergeben sich die folgenden elementaren Rechenregeln für ein Maß \mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty]:

  • endliche Additivität: Für paarweise disjunkte Mengen A_1, \dotsc, A_m \in \mathcal{A} gilt \mu(A_1 \cup \ldots \cup A_m) = \sum_{n=1}^m \mu(A_n).
  • Subtraktivität: Für A, B \in \mathcal{A} mit B \subseteq A und \mu(B) < \infty gilt \mu(A \setminus B) = \mu(A) - \mu(B).
  • Monotonie: Für A, B \in \mathcal{A} mit B \subseteq A gilt \mu(B) \leq \mu(A).
  • Für A, B \in \mathcal{A} gilt stets \mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B). Mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion lässt sich diese Formel im Falle endlicher Maße auf Vereinigungen und Schnitte endlich vieler Mengen verallgemeinern.
  • σ-Subadditivität: Für eine beliebige Folge (A_n)_{n\in\N} von Mengen aus \mathcal{A} gilt \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n).

Stetigkeitseigenschaften[Bearbeiten]

Die folgenden Stetigkeitseigenschaften sind grundlegend für die Approximation messbarer Mengen. Sie folgen direkt aus der σ-Additivität.

  • σ-Stetigkeit von unten: Ist A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots eine aufsteigende Folge von Mengen aus \mathcal{A} und A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n, dann gilt \lim_{n\to\infty} \mu(A_n) = \mu(A).
  • σ-Stetigkeit von oben: Ist A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots eine absteigende Folge von Mengen aus \mathcal{A} mit \mu(A_1) < \infty und A = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n, dann gilt \lim_{n\to\infty} \mu(A_n) = \mu(A).

Eindeutigkeitssatz[Bearbeiten]

Für zwei Maße \mu, \nu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty] auf einem gemeinsamen Messraum (\Omega, \mathcal{A}) gilt der folgende Eindeutigkeitssatz:

Es gebe einen durchschnittsstabilen Erzeuger \mathcal{E} von \mathcal{A}, d. h. es gilt \mathcal{A} = \sigma(\mathcal{E}) und für alle E_1, E_2 \in \mathcal{E} ist E_1 \cap E_2 \in \mathcal{E}, mit folgenden Eigenschaften:

  1. Für alle E \in \mathcal{E} gilt \mu(E) = \nu(E), also \mu|_{\mathcal{E}} = \nu|_{\mathcal{E}}, und
  2. Es gibt eine Folge (E_n)_{n\in\N} von Mengen in \mathcal{E} mit \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = \Omega und \mu(E_n) = \nu(E_n) < \infty für alle n \in \N.

Dann gilt \mu = \nu.

Für endliche Maße mit \mu(\Omega) = \nu(\Omega) ist die Bedingung 2 automatisch erfüllt. Insbesondere sind zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gleich, wenn sie auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger der Ereignisalgebra übereinstimmen.

Linearkombinationen von Maßen[Bearbeiten]

Poissonverteilungen – hier dargestellt für die Parameterwerte \lambda=1 (blau), \lambda=5 (grün) und \lambda = 10 (rot) – sind Maße auf \N_0. Sie lassen sich als Konvexkombinationen von Diracmaßen konstruieren.

Für eine Familie (\mu_i)_{i \in I} von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten (\alpha_i)_{i\in I} wird durch \mu = \sum_{i\in I} \alpha_i \mu_i wieder ein Maß definiert. Insbesondere sind Summen und nicht-negative Vielfache von Maßen ebenfalls Maße.

Ist beispielsweise \Omega = (\omega_i)_{i\in\N} eine abzählbare Grundmenge und \alpha_i \geq 0, dann ist \mu :=  \sum_{i \in \N} \alpha_i \delta_{x_i} mit den Diracmaßen \delta_{x_i} ein Maß auf der Potenzmenge von \Omega. Umgekehrt kann man zeigen, dass man auf diese Weise bei abzählbarer Grundmenge alle Maße auf der Potenzmenge erhält.

Sind (\mu_i)_{i \in \N} Wahrscheinlichkeitsmaße auf (\Omega, \mathcal{A}) und (\alpha_i)_{i\in\N} nicht-negative reelle Zahlen mit \sum_{i\in\N} \alpha_i = 1, dann ist die Konvexkombination \mu := \sum_{i \in \N} \alpha_i \mu_i wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Durch Konvexkombination von Diracmaßen erhält man diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, allgemein ergeben sich Mischverteilungen.

Konstruktion von Maßen[Bearbeiten]

Maßerweiterungssatz[Bearbeiten]

Da die Elemente von σ-Algebren, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra auf \R^d, oft nicht explizit angegeben werden können, werden Maße häufig durch Fortsetzung von Mengenfunktionen konstruiert. Das wichtigste Hilfsmittel hierzu ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Er besagt, dass sich jede nicht-negative σ-additive Mengenfunktion auf einem Mengenring \mathcal{R} (ein sog. Prämaß) zu einem Maß auf der von \mathcal{R} erzeugten σ-Algebra fortsetzen lässt.[6] Die Fortsetzung ist eindeutig, wenn das Prämaß σ-endlich ist.

Beispielsweise bilden alle Teilmengen von \R^d, die sich als endliche Vereinigung von achsenparallelen d-dimensionalen Intervallen darstellen lassen, einen Mengenring. Der elementare Volumeninhalt dieser sogenannten Figuren, der Jordan-Inhalt, ist ein Prämaß auf diesem Mengenring. Die von den Figuren erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra und die Fortsetzung des Jordan-Inhalts nach Carathéodory ergibt das Lebesgue-Borel-Maß.[7]

Nullmengen, Vervollständigung von Maßen[Bearbeiten]

Ist \mu ein Maß und A \in \mathcal{A} eine Menge mit \mu(A) = 0, dann heißt A Nullmenge. Es ist naheliegend, Teilmengen einer Nullmenge ebenfalls das Maß null zuzuordnen. Allerdings müssen solche Mengen nicht unbedingt messbar sein, also wieder in \mathcal{A} liegen. Ein Maßraum, in dem Teilmengen von Nullmengen stets messbar sind, wird vollständig genannt.

Ist (\Omega, \mathcal{A}, \mu) nicht vollständig, so lässt sich der Maßraum vervollständigen. Sei dazu \mathcal{N} die Menge aller Teilmengen von Nullmengen. Setzt man \mathcal{A}' := \{A \cup N \mid A \in \mathcal{A}, N \in \mathcal{N}\} und \mu'(A \cup N) := \mu(A) für A \in \mathcal{A} und N \in \mathcal{N}, dann ist (\Omega, \mathcal{A}', \mu') ein vollständiger Maßraum mit \mathcal{A} \subseteq \mathcal{A}' und die Einschränkung von \mu' auf \mathcal{A} ist \mu.

Zum Beispiel ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes das Lebesgue-Maß auf den Lebesgue-messbaren Teilmengen des \R^d.[8]

Maße auf den reellen Zahlen[Bearbeiten]

Das Lebesgue-Maß \lambda auf \R ist dadurch charakterisiert, dass es Intervallen (a,b] \subseteq \R ihre Länge b-a zuweist. Dessen Konstruktion kann mit Hilfe einer monoton wachsenden Funktion F \colon \R \to \R verallgemeinert werden zu den Lebesgue-Stieltjes-Maßen \lambda_F, die den Intervallen (a,b] die „gewichtete Länge“ F(b) - F(a) zuordnen. Wenn die Funktion F zusätzlich rechtsseitig stetig ist, dann wird hierdurch ein Prämaß auf dem Mengenring der endlichen Vereinigungen solcher Intervalle definiert. Dieses kann nach Carathéodory zu einem Maß auf den Borelmengen von \R bzw. zu dessen Vervollständigung erweitert werden. Beispielsweise ergibt sich für die identische Abbildung F(x) = x wieder das Lebesgue-Maß; ist dagegen F eine stückweise konstante Treppenfunktion, so erhält man Linearkombinationen von Diracmaßen.[9]

Die Cantor-Funktion (hier mit 10 Iterationen dargestellt) ist Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf \R, der Cantor-Verteilung.

Falls eine rechtsseitig stetige und monoton wachsende Funktion F \colon \R \to \R zusätzlich noch die Bedingungen

\lim\limits_{x\to -\infty} F(x) = 0    und    \lim\limits_{x\to +\infty} F(x) = 1

erfüllt, ist das auf diese Weise konstruierte Lebesgue-Stieltjes-Maß \lambda_F ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dessen Verteilungsfunktion ist gleich F, das bedeutet F(x) = \lambda_F((-\infty,x]). Umgekehrt besitzt jede Verteilungsfunktion F eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf \R die obigen Eigenschaften. Mit Hilfe von Verteilungsfunktionen lassen sich daher auch solche Wahrscheinlichkeitsmaße auf \R einfach darstellen, die weder diskret sind noch eine Lebesgue-Dichte besitzen, wie zum Beispiel die Cantor-Verteilung.[10]

Einschränkung von Maßen[Bearbeiten]

Wie jede Funktion lässt sich ein Maß \mu \colon \mathcal{A} \to [0,\infty] natürlich auf einen kleineren Definitionsbereich, also auf eine σ-Algebra \mathcal{B} \subseteq \mathcal{A} einschränken. Beispielsweise erhält man durch Einschränkung des Lebesgue-Maßes auf die borelsche σ-Algebra wieder das Lebesgue-Borel-Maß zurück.

Interessanter ist eine Einschränkung auf eine kleinere Grundmenge X \subseteq \Omega: Ist (\Omega, \mathcal{A}, \mu) ein Maßraum und X \in \mathcal{A}, dann wird durch

\mathcal{A}|_X := \{A \cap X \mid A \in \mathcal{A}\}

eine σ-Algebra auf X definiert, die sogenannte Spur-σ-Algebra. Es gilt A \in \mathcal{A}|_X genau dann, wenn A \in \mathcal{A} und A \subseteq X ist. Für diese A wird durch

\mu|_X(A) := \mu(A)

ein Maß auf \mathcal{A}|_X definiert, das Einschränkung (oder Spur) von \mu auf X genannt wird. Zum Beispiel erhält man durch Einschränkung des Lebesgue-Maßes \lambda von \R auf das Intervall [0,1] wegen \lambda([0,1]) = 1 ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0,1], die stetige Gleichverteilung.[11]

Bildmaß[Bearbeiten]

Hauptartikel: Bildmaß

Maße lassen sich mit Hilfe von messbaren Funktionen von einem Maßraum auf einen weiteren Messraum transformieren. Sind (\Omega, \mathcal{A}) und (\Omega', \mathcal{A}') Messräume, dann heißt eine Funktion T \colon \Omega \to \Omega' messbar, wenn für alle A' \in \mathcal{A}' das Urbild T^{-1}(A') in \mathcal{A} liegt. Ist nun \mu ein Maß auf \mathcal{A}, dann ist die Funktion \mu' \colon \mathcal{A}' \to [0,\infty] mit \mu'(A') := \mu(T^{-1}(A')) für A' \in \mathcal{A}' ein Maß auf \mathcal{A}'. Es heißt Bildmaß von \mu unter T und wird häufig mit \mu_T oder \mu \circ T^{-1} bezeichnet.

Das Verhalten von Integralen bei der Transformation von Maßen wird durch den Transformationssatz beschrieben. Durch Bildmaße ist es in der Analysis möglich, Maße auf Mannigfaltigkeiten zu konstruieren.

Bildmaße von Wahrscheinlichkeitsmaßen sind wieder Wahrscheinlichkeitsmaße. Diese Tatsache spielt bei der Betrachtung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen in der Stochastik eine wichtige Rolle.[12]

Maße mit Dichten[Bearbeiten]

Die Standardnormalverteilung ist ein Maß auf den reellen Zahlen, das mit Hilfe seiner Lebesgue-Dichte angegeben werden kann.

Maße werden oft als „unbestimmte Integrale“ von Funktionen bezüglich anderer Maße konstruiert. Ist (\Omega, \mathcal{A}, \mu) ein Maßraum und f\colon \Omega \to [0,\infty] eine nicht-negative messbare Funktion, dann wird durch

\nu(A) = \int_A f \, \mathrm d \mu

für A \in \mathcal{A} ein weiteres Maß auf (\Omega, \mathcal{A}) definiert. Die Funktion f wird Dichtefunktion von \nu bezüglich \mu (kurz eine \mu-Dichte) genannt. Eine übliche Schreibweise ist f = \tfrac{\mathrm d \nu}{\mathrm d \mu}.

Der Satz von Radon-Nikodým gibt Auskunft darüber, welche Maße mit Hilfe von Dichten dargestellt werden können: Ist \mu σ-endlich, so ist dies genau dann möglich, wenn alle Nullmengen von \mu auch Nullmengen von \nu sind.

In der Stochastik werden die Verteilungen stetiger Zufallsvariabler, wie beispielsweise die Normalverteilung, häufig durch Dichten bezüglich des Lebesgue-Maßes angegeben.

Produktmaße[Bearbeiten]

Hauptartikel: Produktmaß

Lässt sich eine Grundmenge als kartesisches Produkt schreiben und sind auf den einzelnen Faktoren Maße gegeben, so kann auf ihr ein sogenanntes Produktmaß konstruiert werden. Für zwei Maßräume (\Omega_1, \mathcal{A}_1, \mu_1) und (\Omega_2, \mathcal{A}_2, \mu_2) bezeichne \mathcal{A} := \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 die Produkt-σ-Algebra. Das ist die kleinste σ-Algebra auf \Omega := \Omega_1 \times \Omega_2, die alle Mengenprodukte A_1 \times A_2 mit A_1 \in \mathcal{A}_1 und A_2 \in \mathcal{A}_2 enthält. Falls \mu_1 und \mu_2 σ-endlich sind, dann existiert genau ein Maß \mu auf (\Omega, \mathcal{A}) mit

\mu(A_1 \times A_2) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_2(A_2),

das Produktmaß genannt und mit \mu_1 \otimes \mu_2 bezeichnet wird. Völlig analog lassen sich auch Produkte endlich vieler Maße bilden. Beispielsweise erhält man so das Lebesgue-Borel-Maß auf dem d-dimensionalen euklidischen Raum \R^d als d-faches Produkt aus dem Lebesgue-Borel-Maß auf den reellen Zahlen.

Mit Hilfe des Satzes von Fubini lassen sich Integrale bezüglich eines Produktmaßes \mu_1 \otimes \dotsb \otimes \mu_d meist berechnen, indem man schrittweise Integrationen bezüglich der einzelnen Maße \mu_i ausführt. Auf diese Weise können beispielsweise Flächen- und Volumenberechnungen auf die Bestimmung eindimensionaler Integrale zurückgeführt werden.[13]

Im Gegensatz zu allgemeinen Maßen können unter bestimmten Voraussetzungen bei Wahrscheinlichkeitsmaßen beliebige (sogar überabzählbare) Produkte gebildet werden. Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen modellieren beispielsweise die unabhängige Wiederholung von Zufallsexperimenten.[14]

Maße auf topologischen Räumen[Bearbeiten]

Falls die Grundmenge \Omega zusätzlich ein topologischer Raum ist, interessiert man sich vor allem für Maße, die ähnliche Eigenschaften wie das Lebesgue-Maß oder die Lebesgue-Stieltjes-Maße auf dem topologischen Raum \R^d mit der Standardtopologie besitzen. Eine einfache Überlegung zeigt, dass die borelsche σ-Algebra auf \R^d nicht nur von der Menge der d-dimensionalen Intervalle, sondern auch von den offenen Teilmengen erzeugt wird. Ist daher (\Omega, \mathfrak{T}) ein Hausdorff-Raum mit Topologie \mathfrak{T} (also der Menge der offenen Mengen), so definiert man die borelsche σ-Algebra auf \Omega als

\mathcal{B} := \mathcal{B}(\Omega) := \sigma(\mathfrak{T}),

also als kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Natürlich enthält dann \mathcal{B} insbesondere auch alle abgeschlossenen Mengen sowie alle Mengen, die sich als abzählbare Vereinigungen oder Durchschnitte abgeschlossener bzw. offener Mengen schreiben lassen (vgl. Borel-Hierarchie).

Borelmaße und Regularität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Borelmaß und Reguläres Maß

Ein Maß \mu \colon \mathcal{B} \to [0,\infty] auf einem Messraum (\Omega, \mathcal{B}), \Omega Hausdorff-Raum und \mathcal{B} die borelsche σ-Algebra, heißt Borelmaß, wenn es lokal endlich ist. Das heißt, jedes \omega \in \Omega besitzt eine offene Umgebung, deren Maß endlich ist. Ist \Omega zusätzlich lokalkompakt, so ist das damit äquivalent, dass alle kompakten Mengen endliches Maß besitzen.

Ein Radonmaß ist ein Borelmaß, das von innen regulär ist, das bedeutet, dass für jedes A\in\mathcal{B} gilt

\mu(A)=\sup \{ \mu(K) \mid K\subset A,\ K\ \textrm{kompakt} \}.

Ist ein Radonmaß zusätzlich von außen regulär, das heißt, für jedes A\in\mathcal{B} gilt

\mu(A)=\inf \{ \mu(U) \mid A\subset U,\ U\ \textrm{offen} \},

so wird es reguläres Borelmaß genannt.[15]

Zahlreiche wichtige Borelmaße sind regulär, es gelten nämlich unter anderem die folgenden Regularitätsaussagen:

Wahrscheinlichkeitsmaße auf polnischen Räumen spielen in zahlreichen Existenzfragen der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle.

Haarsches Maß[Bearbeiten]

Hauptartikel: Haarsches Maß

Der d-dimensionale euklidische Raum ist nicht nur ein lokalkompakter topologischer Raum, sondern sogar eine topologische Gruppe bezüglich der üblichen Vektoraddition als Verknüpfung. Das Lebesgue-Maß \lambda respektiert auch diese Struktur in dem Sinne, dass es invariant gegenüber Translationen ist: Für alle Borelmengen A und alle x \in \R^d gilt

\lambda(A + x) = \lambda(A).

Der Begriff des Haarschen Maßes verallgemeinert diese Translationsinvarianz auf linksinvariante Radonmaße auf hausdorffschen lokalkompakten topologischen Gruppen. Ein solches Maß existiert stets und ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Das Haarsche Maß ist genau dann endlich, wenn die Gruppe kompakt ist; in diesem Fall kann es also zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß normiert werden.[18]

Haarsche Maße spielen eine zentrale Rolle bei der harmonischen Analyse, in der Methoden der Fourier-Analysis auf allgemeine Gruppen übertragen werden.

Konvergenz von Maßen[Bearbeiten]

Der wichtigste Konvergenzbegriff für Folgen von endlichen Maßen ist die schwache Konvergenz, die mit Hilfe von Integralen folgendermaßen definiert werden kann:
Es sei \Omega ein metrischer Raum. Eine Folge (\mu_n)_{n\in\N} endlicher Maße auf (\Omega, \mathcal{B}(\Omega)) heißt schwach konvergent gegen ein endliches Maß \mu\colon \mathcal{B}(\Omega) \to [0,\infty), in Zeichen \mu_n \xrightarrow{w} \mu, wenn für alle beschränkten stetigen Funktionen f \colon \Omega \to \R gilt

 \lim_{n \to\infty} \int_{\Omega} f \, \mathrm d\mu_n = \int_{\Omega} f \, \mathrm d\mu .

Das Portmanteau-Theorem gibt einige andere Bedingungen an, die zur schwachen Konvergenz von Maßen äquivalent sind. Beispielsweise gilt \mu_n \xrightarrow{w} \mu genau dann, wenn

\lim_{n \to \infty} \mu_n(A) = \mu(A)

für alle Borelmengen A mit \mu(\partial A) = 0 gilt, wobei \partial A den topologischen Rand von A bezeichnet.[19]

Die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen hat eine wichtige Anwendung bei der Verteilungskonvergenz von Zufallsvariablen, wie sie beim zentralen Grenzwertsatz auftritt. Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen kann mit Hilfe von charakteristischen Funktionen untersucht werden.

Eine weitere für Anwendungen bedeutende Frage ist, wann man aus Folgen von Maßen schwach konvergente Teilfolgen auswählen kann, also wie die relativ folgenkompakten Mengen von Maßen charakterisiert werden können. Nach dem Satz von Prochorow ist eine Menge M endlicher Maße auf einem polnischen Raum \Omega genau dann relativ folgenkompakt, wenn sie beschränkt und straff ist. Beschränktheit bedeutet hier, dass \sup \{\mu(\Omega) \mid \mu \in M\} < \infty ist und Straffheit, dass es zu jedem \varepsilon > 0 ein Kompaktum K \subseteq \Omega gibt mit \mu(\Omega \setminus K) < \varepsilon für alle \mu \in M.[20]

Anwendungen[Bearbeiten]

Integration[Bearbeiten]

Im Gegensatz zur Konstruktion des Riemann-Integrals (blau) werden beim Lebesgue-Integral (rot) Flächen unter Funktionsgraphen durch Linearkombinationen der Maße von Borelmengen approximiert.

Der Begriff des Maßes ist eng mit der Integration von Funktionen verknüpft. Moderne Integralbegriffe, wie das Lebesgue-Integral und seine Verallgemeinerungen, werden meist aus einer maßtheoretischen Grundlage heraus entwickelt. Der fundamentale Zusammenhang ist dabei die Gleichung

\int_{\Omega} \chi_A \, \mathrm d \mu = \mu(A),

für alle A \in \mathcal{A}, wobei ein Maßraum (\Omega, \mathcal{A}, \mu) vorgegeben ist und \chi_A die Indikatorfunktion der messbaren Menge A bezeichnet, also die Funktion \chi_A\colon \Omega \to \R mit \chi_A(\omega) = 1 für \omega \in A und \chi_A(\omega) = 0 sonst. Mit Hilfe der gewünschten Linearitäts- und Monotonieeigenschaften lässt sich die Integration schrittweise zunächst auf einfache Funktionen, dann auf nicht-negative messbare Funktionen und schließlich auf alle reell- bzw. komplexwertigen messbaren Funktionen f mit \int_{\Omega} |f| \, \mathrm d \mu < \infty ausdehnen. Letztere werden \mu-integrierbar genannt und ihr Integral \int_{\Omega} f \, \mathrm d \mu heißt (verallgemeinertes) Lebesgue-Integral bezüglich des Maßes \mu oder kurz \mu-Integral.[21]

Dieser Integralbegriff stellt eine starke Verallgemeinerung klassischer Integralbegriffe wie dem Riemann-Integral dar, denn er ermöglicht die Integration von Funktionen auf beliebigen Maßräumen. Das ist wiederum in der Stochastik von großer Bedeutung: Dort entspricht das Integral einer Zufallsvariable bezüglich eines gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßes ihrem Erwartungswert.[22]

Allerdings ergeben sich auch für reelle Funktionen einer reellen Variablen Vorteile gegenüber dem Riemann-Integral. Hier sind vor allem die Konvergenzeigenschaften bei Vertauschung von Grenzwertbildung und Integration zu nennen, die beispielsweise durch den Satz von der monotonen Konvergenz und den Satz von der majorisierten Konvergenz beschrieben werden.[23]

Räume integrierbarer Funktionen[Bearbeiten]

Räume integrierbarer Funktionen spielen als Standardräume der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Die Menge aller messbaren Funktionen f \colon \Omega \to \R auf einem Maßraum (\Omega, \mathcal{A}, \mu), die \int_{\Omega} |f| \, \mathrm d \mu < \infty erfüllen, also \mu-integrierbar sind, bildet einen Vektorraum \mathcal{L}^1(\mu; \R). Durch

\|f\|_1 := \int_{\Omega} |f| \, \mathrm d \mu

wird eine Halbnorm auf \mathcal{L}_1(\mu; \R) definiert. Identifiziert man Funktionen aus diesem Raum miteinander, falls sie sich nur auf einer Nullmenge voneinander unterscheiden, gelangt man zu einem normierten Raum L^1(\mu; \R). Eine analoge Konstruktion kann man allgemeiner mit Funktionen durchführen, für die |f|^p für ein p \geq 1 \mu-integrierbar ist, und gelangt so zu den Lp-Räumen L^p(\mu; \R) mit der Norm

\|f\|_p := \left(\int_{\Omega} |f|^p \, \mathrm d \mu\right)^{1/p}.

Ein zentrales Ergebnis, auf das die große Bedeutung dieser Räume in Anwendungen zurückzuführen ist, ist ihre Vollständigkeit. Sie sind also für alle p \geq 1 Banachräume. Im wichtigen Spezialfall p = 2 stellt sich die Norm sogar als von einem Skalarprodukt induziert heraus; es handelt sich bei L^2(\mu; \R) daher um einen Hilbertraum.

Völlig analog lassen sich L^p-Räume komplexwertiger Funktionen definieren. Komplexe L^2-Räume sind ebenfalls Hilberträume; sie spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, wo Zustände von Teilchen durch Elemente eines Hilbertraums beschrieben werden.[24]

Wahrscheinlichkeitstheorie[Bearbeiten]

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Zufallsexperimente werden durch einen Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \Sigma, P) beschrieben, also durch einen Maßraum, dessen Maß P die Zusatzbedingung P(\Omega) = 1 erfüllt. Die Grundmenge \Omega, der Ergebnisraum, enthält die verschiedenen Ergebnisse, die das Experiment liefern kann. Die σ-Algebra \Sigma besteht aus den Ereignissen, denen das Wahrscheinlichkeitsmaß P Zahlen zwischen 0 und 1 zuordnet.

Bereits der einfachste Fall eines endlichen Ergebnisraums \Omega mit der Potenzmenge als σ-Algebra und der durch P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|} definierten Gleichverteilung hat zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten. Er spielt in der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung eine zentrale Rolle zur Beschreibung von Laplace-Experimenten, wie dem Werfen eines Würfels und dem Ziehen aus einer Urne, bei denen alle Ergebnisse als gleich wahrscheinlich angenommen werden.

Wahrscheinlichkeitsmaße werden häufig als Verteilungen von Zufallsvariablen, also als Bildmaße, erzeugt. Wichtige Beispiele für Wahrscheinlichkeitsmaße auf \N_0 sind die Binomial- und die Poissonverteilung sowie die geometrische und hypergeometrische Verteilung. Bei den Wahrscheinlichkeitsmaßen auf \R mit Lebesgue-Dichte nimmt – unter anderem wegen des zentralen Grenzwertsatzes – die Normalverteilung eine herausragende Stellung ein. Weitere Beispiele sind die stetige Gleichverteilung oder die Gammaverteilung, die zahlreiche weitere Verteilungen wie etwa die Exponentialverteilung als Spezialfall umfasst.

Die mehrdimensionale Normalverteilung ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel für Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem d-dimensionalen euklidischen Raum \R^d. Noch allgemeinere Maßräume spielen in der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie eine Rolle bei der Konstruktion von stochastischen Prozessen, wie etwa das Wiener-Maß auf einem geeigneten Funktionenraum zur Beschreibung des Wiener-Prozesses (Brownsche Bewegung), der auch in der stochastischen Analysis eine zentrale Stellung einnimmt.[25]

Statistik[Bearbeiten]

Die Grundaufgabe der mathematischen Statistik besteht darin, aufgrund von Beobachtungsergebnissen zufälliger Stichproben zu Aussagen über die Verteilung von Merkmalen in einer Grundgesamtheit zu kommen (sog. schließende Statistik). Entsprechend enthält ein statistisches Modell (\mathcal{X}, \mathcal{F}, P_\vartheta : \vartheta \in  \Theta) nicht nur ein einzelnes als bekannt angenommenes Wahrscheinlichkeitsmaß wie bei einem Wahrscheinlichkeitsraum, sondern eine ganze Familie (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem gemeinsamen Messraum (\mathcal{X}, \mathcal{F}). Einen wichtigen Spezialfall stellen die parametrischen Standardmodelle dar, die dadurch gekennzeichnet sind, dass die Parameter Vektoren aus \R^d sind und alle P_{\vartheta} eine Dichte bezüglich eines gemeinsamen Maßes besitzen.[26]

Aus der Beobachtung von x \in \mathcal{X} soll nun auf den Parameter \vartheta und damit auf das Maß P_{\vartheta} geschlossen werden. Dies geschieht in der klassischen Statistik in der Form von Punktschätzern, die mit Hilfe von Schätzfunktionen konstruiert werden, oder mit Konfidenzbereichen, die den unbekannten Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit enthalten. Mit Hilfe statistischer Tests können außerdem Hypothesen über das unbekannte Wahrscheinlichkeitsmaß geprüft werden.[27]

Im Gegensatz dazu werden in der bayesschen Statistik Verteilungsparameter nicht als Unbekannte, sondern selbst als zufällig modelliert. Dazu wird, ausgehend von einer angenommenen A-priori-Verteilung, mit Hilfe der durch die Beobachtungsergebnisse gewonnenen Zusatzinformation eine A-posteriori-Verteilung des Parameters bestimmt. Diese Verteilungen sind im Allgemeinen Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem Parameterraum \Theta; für A-priori-Verteilungen kommen jedoch unter Umständen auch allgemeine Maße in Frage (sog. uneigentliche A-priori-Verteilungen).

Finanzmathematik[Bearbeiten]

Die moderne Finanzmathematik verwendet Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere stochastische Prozesse, zur Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Preise von Finanzinstrumenten. Eine zentrale Fragestellung ist die Berechnung fairer Preise von Derivaten.

Ein Maßwechsel – hier dargestellt durch unterschiedliche Farbintensitäten – kann einen Wiener-Prozess mit Drift (links) in ein Martingal (rechts) transformieren.

Typisch ist hierbei die Betrachtung verschiedener Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem gleichen Messraum: Neben dem realen, durch die Risikobereitschaft der Marktteilnehmer bestimmten Maß werden risikoneutrale Maße verwendet. Faire Preise ergeben sich dann als Erwartungswerte abgezinster Auszahlungen bezüglich eines risikoneutralen Maßes. In arbitagefreien und vollkommenen Marktmodellen ist dabei Existenz und Eindeutigkeit risikoneutraler Maße sichergestellt.

Während sich einfache zeit- und preisdiskrete Modelle bereits mit elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung analysieren lassen, sind insbesondere bei stetigen Modellen wie dem Black-Scholes-Modell und seinen Verallgemeinerungen moderne Methoden der Martingaltheorie und der stochastischen Analysis nötig. Dabei werden als risikoneutrale Maße äquivalente Martingalmaße verwendet. Das sind Wahrscheinlichkeitsmaße, die bezüglich des realen risikobehafteten Maßes eine positive Dichte besitzen und für die der abgezinste Preisprozess ein Martingal (oder allgemeiner ein lokales Martingal) ist. Von Bedeutung ist hierbei zum Beispiel der Satz von Girsanow, der das Verhalten von Wiener-Prozessen bei einem Wechsel des Maßes beschreibt.[28]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Das Konzept des Maßes erlaubt zahlreiche Verallgemeinerungen in verschiedene Richtungen. Ein Maß im Sinne dieses Artikels wird daher zur Verdeutlichung in der Literatur manchmal positives Maß oder noch genauer σ-additives positives Maß genannt.

Durch Abschwächung der in der Definition geforderten Eigenschaften erhält man Funktionen, die in der Maßtheorie als Vorstufen von Maßen betrachtet werden. Der allgemeinste Begriff ist der einer (nicht-negativen) Mengenfunktion, also einer Funktion, die den Mengen eines Mengensystems über einer Grundmenge Werte aus [0,\infty] zuordnet, wobei meist noch gefordert wird, dass die leere Menge den Wert null bekommt. Ein Inhalt ist eine endlich additive Mengenfunktion; ein σ-additiver Inhalt heißt Prämaß. Der Jordan-Inhalt auf den Jordan-messbaren Teilmengen von \R^d ist ein Anwendungsbeispiel für eine additive Mengenfunktion, die jedoch nicht σ-additiv ist. Ein Maß ist somit ein Prämaß, dessen Definitionsbereich eine σ-Algebra ist.[29] Äußere Maße, also Mengenfunktionen, die monoton und σ-subadditiv sind, stellen eine wichtige Zwischenstufe in der Konstruktion von Maßen aus Prämaßen nach Carathéodory dar: Ein Prämaß auf einem Mengenring wird zunächst zu einem äußeren Maß auf der ganzen Potenzmenge fortgesetzt, dessen Einschränkung auf messbare Mengen ein Maß ergibt.[30]

Anders geartete Verallgemeinerungen des Maßbegriffs erhält man, wenn man die Forderung aufgibt, dass die Werte in [0,\infty] liegen müssen, jedoch die übrigen Eigenschaften beibehält. Bei einem signierten Maß sind auch negative Werte zugelassen, es kann also Werte im Intervall (-\infty, \infty] (alternativ auch [-\infty, \infty)) annehmen. Bei komplexen Zahlen als Wertebereich spricht man von einem komplexen Maß. Der Wert \infty ist hierbei allerdings nicht zugelassen, das heißt, ein positives Maß ist zwar stets auch ein signiertes Maß, aber nur endliche Maße können auch als komplexe Maße aufgefasst werden. Im Gegensatz zu positiven Maßen bilden die signierten und die komplexen Maße über einem Messraum einen Vektorraum. Solche Räume spielen nach dem rieszschen Darstellungssatz eine wichtige Rolle als Dualräume von Räumen stetiger Funktionen. Signierte und komplexe Maße lassen sich nach dem Zerlegungssatz von Hahn und Jordan als Linearkombinationen aus positiven Maßen schreiben. Auch der Satz von Radon-Nikodým bleibt für sie gültig.[31]

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung stellen Maße mit Werten in beliebigen Banachräumen dar, die sogenannten vektoriellen Maße. Maße auf den reellen Zahlen, deren Werte orthogonale Projektionen eines Hilbertraums sind, sogenannte Spektralmaße, werden im Spektralsatz zur Darstellung selbstadjungierter Operatoren verwendet, was unter anderem in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik eine wichtige Rolle spielt (siehe auch Positive Operator Valued Probability Measure).[32] Maße mit orthogonalen Werten sind Hilbertraum-wertige Maße, bei denen die Maße disjunkter Mengen orthogonal zueinander sind. Mit ihrer Hilfe können Spektraldarstellungen von stationären Zeitreihen und stationären stochastischen Prozessen angegeben werden.[33]

Zufällige Maße sind Zufallsvariablen, deren Werte Maße sind. Sie werden beispielsweise in der stochastischen Geometrie zur Beschreibung zufälliger geometrischer Strukturen verwendet. Bei stochastischen Prozessen, deren Pfade Sprungstellen aufweisen, wie etwa den Lévy-Prozessen, können die Verteilungen dieser Sprünge durch zufällige Zählmaße dargestellt werden.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 33–34.
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 5.
  3. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 34.
  4. Brokate, Kersting: Maß und Integral. 2011, S. 19.
  5. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 215.
  6. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 222.
  7. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 226.
  8. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 63–65.
  9. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, Kapitel II, §3.
  10. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, Kapitel II, §8.
  11. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2008, S. 33.
  12. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2008, S. 43.
  13. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, Kapitel V.
  14. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2008, Kapitel 14.
  15. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 313.
  16. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 319.
  17. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 320.
  18. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 351–377.
  19. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 385.
  20. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 398.
  21. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, Abschnitt IV.5.
  22. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2008, 104ff.
  23. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, Abschnitt IV.6.
  24. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 13ff.
  25. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2008.
  26. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 196ff.
  27. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, Teil II.
  28. Albrecht Irle: Finanzmathematik. Die Bewertung von Derivaten. 3. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1574-3.
  29. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 214–215.
  30. Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, Abschnitt IV.3.
  31. Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2009, Kapitel 6.
  32. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Kapitel VII.
  33. Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, Kapitel 5.