Maßerweiterungssatz von Carathéodory

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Der Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Dieser Satz dient dazu, Maße, die auf Mengenringen definiert sind, auf größere σ-Algebren auszudehnen. Mit dieser auf Constantin Carathéodory zurückgehenden Methode kann insbesondere das Lebesguemaß auf die Längenbestimmung von Intervallen zurückgeführt werden.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Es sei \mu ein Maß auf einem Mengenring \mathcal{R} von Mengen aus einer Grundmenge X. Dann gibt es eine \mathcal{R} umfassende σ-Algebra \mathcal{A} auf X und eine Erweiterung \tilde{\mu} von \mu zu einem Maß auf \mathcal{A}, so dass (X,\mathcal{A},\tilde{\mu}) ein vollständiger Maßraum ist.

Konstruktion[Bearbeiten]

Man definiert mittels des auf dem Ring gegebenen Maßes ein auf der gesamten Potenzmenge \mathcal{P}(X) definiertes äußeres Maß und daraus mittels einer geeigneten Einschränkung ein Maß auf einer σ-Algebra. Diese Konstruktion wird nun im Einzelnen beschrieben und parallel auf die Konstruktion des Lebesguemaßes angewandt.

Maße auf Ringen[Bearbeiten]

Ein Mengenring enthält die leere Menge und ist bezüglich endlicher Vereinigungen und Bildung von Differenzmengen abgeschlossen. Ein Maß auf einem solchen Mengenring ist eine Funktion \mu:\mathcal{R} \rightarrow [0,\infty] mit \mu(\emptyset)=0 und \textstyle \mu(\bigcup_nA_n) = \sum_n\mu(A_n), falls A_1,A_2,\ldots paarweise disjunkte Mengen aus \mathcal{R} sind, deren Vereinigung wieder in \mathcal{R} liegt.[1] Manche Autoren sprechen hier auch von einem Prämaß.

Das Standardbeispiel ist die Menge \mathcal{R}^1 aller endlichen Vereinigungen halboffener Intervalle I=[a,b) in X=\R, wobei stets a\le b sei. Derartige Vereinigungen können immer auch als disjunkte Vereinigung I_1\cup\ldots\cup I_k solcher Intervalle geschrieben werden, und die Festsetzung \mu(I_1\cup\ldots\cup I_k) = \ell(I_1)+\ldots + \ell(I_k), wobei \ell([a,b)) =b-a die Länge eines solchen Intervalls sei, definiert ein Maß auf \mathcal{R}^1.

Dies verallgemeinert sich leicht auf n Dimensionen, wenn man auf X=\R^n den Mengenring \mathcal{R}^n aller endlichen Vereinigungen n-dimensionaler Intervalle (Quader) Q=[a_1,b_1)\times\ldots \times [a_n,b_n) betrachtet, wobei stets a_i\le b_i sei. Auch hier kann man sich auf disjunkte Vereinigungen beschränken und in einem solchen Fall

\mu(Q_1\cup\ldots\cup Q_k) = vol(Q_1)+\ldots + vol(Q_k)

definieren, wobei vol([a_1,b_1)\times\ldots \times [a_n,b_n)) = (b_1-a_1)\cdot\ldots\cdot (b_n-a_n) das übliche elementargeometrische Volumen eines Quaders sei. Man nennt dieses Beispiel auch das lebesguesche Prämaß.[2]

Konstruktion des äußeren Maßes[Bearbeiten]

Es sei ein Maß \mu auf einem Mengenring \mathcal{R} von Mengen aus einer Grundmenge X gegeben. Für jede Teilmenge Y\subset X sei

\mu^*(Y):=\inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \mu(A_k);\, A_1,A_2, \ldots \in \mathcal{R}, Y\subset \bigcup_{k=1}^\infty A_k \right\}

wobei \inf(\emptyset) := \infty. Dann ist \mu^* ein äußeres Maß auf \mathcal{P}(X). Man kann zeigen, dass

  1. \mu^*(A) = \mu(A)
  2. \mu^*(Q) = \mu^*(Q\cap A)+\mu^*(Q\cap (X\setminus A))

für alle Q\subset X und A\in \mathcal{R}. Die erste Eigenschaft besagt, dass \mu^* das vorgegebene Maß fortsetzt, die zweite, dass jede Menge des Grundraums durch jede Menge des vorgegebenen Ringes in zwei Teile zerlegt wird, die sich bzgl. \mu^* additiv verhalten.[3]

Übergang zu messbaren Mengen[Bearbeiten]

Der Kern in Carathéodorys Konstruktion ist die Definition von

\mathcal{A} := \{A\subset X; \mu^*(Q) = \mu^*(Q\cap A)+\mu^*(Q\cap (X\setminus A)) \text{ für alle } Q\subset X\},

der Nachweis, dass dies eine σ-Algebra definiert, die sogenannte σ-Algebra der messbaren Mengen, und dass die Einschränkung \tilde{\mu} := \mu^*|_\mathcal{A} ein Maß ist. Wegen obiger zweiter Eigenschaft des äußeren Maßes ist \mathcal{R}\subset \mathcal{A} und wegen der ersten ist \tilde{\mu} eine Fortsetzung von \mu.[4] Schließlich zeigt man, dass \mathcal{A} jede Menge mit äußerem Maß 0 enthält, woraus sich dann die Vollständigkeit des Maßraums (X,\mathcal{A},\tilde{\mu}) ergibt.

Wendet man diese Konstruktion auf unser Beispiel des lebesgueschen Prämaßes an, so erhält man das Lebesguemaß auf der lebesgueschen σ-Algebra. In diesem Fall kann man zeigen, dass die lebesguesche σ-Algebra echt größer ist als die von \mathcal{R}^n erzeugte σ-Algebra ist, die mit der borelschen σ-Algebra zusammenfällt.[5] Allerdings ist der Unterschied nicht zu groß, denn jede Menge der lebesgueschen σ-Algebra unterscheidet sich nur um eine \mu^*-Nullmenge von einer Borelmenge, das heißt die lebesguesche σ-Algebra ist die Vervollständigung der borelschen.[6]

Bemerkungen[Bearbeiten]

Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Als Folgerung aus obigem Satz erhält man, dass sich jedes Maß auf einem Ring zu einem Maß auf der vom Ring erzeugten σ-Algebra fortsetzen lässt. Man erhält hier eine Eindeutigkeitsaussage, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass X als abzählbare Vereinigung von Ringmengen endlichen Maßes geschrieben werden kann.

Halbringe[Bearbeiten]

Statt von Mengenringen kann man auch vom allgemeineren Begriff des Halbrings ausgehen. Ein Maß bzw. Prämaß auf einem Halbring \mathcal{H} wird wie auf Ringen definiert, das heißt es handelt sich um eine Mengenfunktion \mu: \mathcal{H}\rightarrow [0,\infty], so dass \mu(\emptyset)=0 und \textstyle \mu(\bigcup_nA_n) = \sum_n\mu(A_n), falls A_1,A_2,\ldots paarweise disjunkte Mengen aus \mathcal{H} sind, deren Vereinigung wieder in \mathcal{H} liegt.[7]

Um in dieser Situation zu einer Maßerweiterung zu kommen, bildet man zunächst den von \mathcal{H} erzeugten Ring \mathcal{R}_\mathcal{H}, der gleich der Menge aller endlichen, disjunkten Vereinigungen von Mengen aus \mathcal{H} ist.[8] Ist C_1\cup\ldots\cup C_k eine solche disjunkte Vereinigung, so wird durch die Festsetzung \hat{\mu}(C_1\cup\ldots\cup C_k):= \mu(C_1)+\ldots + \mu(C_k) ein Maß \hat{\mu} auf dem Mengenring \mathcal{R}_\mathcal{H} erklärt.[9] Darauf kann dann die oben beschriebene Konstruktion angewendet werden.

Das Standardbeispiel ist der Halbring \mathcal{H}^n aller halboffenen n-dimensionalen Intervalle (Quader)

[a,b):= \{X=(x_1,\ldots,x_n);\, a_i\le x_i < b_i\text{ für alle }i=1,\ldots,n\}

mit a=(a_1,\ldots, a_n), b=(b_1,\ldots, b_n)\in \R^n und das darauf erklärte Maß des elementargeometrischen Inhalts. Die hier vorgestellte Konstruktion führt also direkt von der Definition des Quadervolumens als Produkt der Seitenlängen zum Lebesguemaß. Sie kann direkt auf allgemeine Produktmaße verallgemeinert werden.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie (BI-Hochschultaschenbücher. Bd. 505). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1971, ISBN 3-411-00505-X, Kap. 2.
  2. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., völlig überarbeitete und neugestaltete Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3, Kap. I, § 4.
  3. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., völlig überarbeitete und neugestaltete Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3, Kap. I, Satz 5.2.
  4. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., völlig überarbeitete und neugestaltete Auflage. de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012191-3, Kap. I, Satz 5.4.
  5. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 2.1.9.
  6. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA u. a. 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 1.5.2
  7. Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie (BI-Hochschultaschenbücher. Bd. 505). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1971, ISBN 3-411-00505-X, Kap. 2.
  8. Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie (BI-Hochschultaschenbücher. Bd. 505). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1971, ISBN 3-411-00505-X, Kap. 1.5, Satz 6.
  9. Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie (BI-Hochschultaschenbücher. Bd. 505). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1971, ISBN 3-411-00505-X, Kap. 2.3, Satz 2.