Magma (Mathematik)

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In der Mathematik ist ein Magma eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung. Es wird auch Gruppoid,[1] manchmal Binar oder Operativ genannt.

Eine Verallgemeinerung des Magmas ist das Pseudo-Magma, in dem die Verknüpfung nicht mehr auf der ganzen zugrundeliegenden Menge erklärt sein muss, also partiell sein kann.

Definition[Bearbeiten]

Ein Magma ist ein Paar (M,*), bestehend aus einer Menge M (der Trägermenge) und einer zweistelligen inneren Verknüpfung *\,\colon\, M\times M\rightarrow M.

Für a*b, die Verknüpfung zweier Elemente a, b \in M, schreibt man auch kurz ab.

Die leere Menge kann auch als Trägermenge zugelassen werden; sie ist auf triviale Weise ein Magma.

Ist die Verknüpfung kommutativ, so heißt das Magma kommutativ oder abelsch; ist sie assoziativ, so heißt das Magma assoziativ oder Halbgruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

Die folgenden Beispiele sind Magmen, die keine Halbgruppen sind:

  • (\Z, -): die ganzen Zahlen mit der Subtraktion
  • (\R \setminus \{0\}, /): die reellen Zahlen ungleich 0 mit der Division
  • Die natürlichen Zahlen mit der Exponentiation, also mit der Verknüpfung a*b = a^b
  • Die reellen Zahlen mit der Bildung des arithmetischen Mittels als Verknüpfung
  • Alle Gleitkommadarstellungen (Gleitkommazahl) zu beliebigen Basen, Exponenten- und Mantissen-längen mit der Multiplikation sind echte, unitäre, kommutative Magmen wenn man (der Abgeschlossenheit wegen) die NaNs und ∞ hinzunimmt. So ist die Gleitkommamultiplikation weder assoziativ noch besitzt sie im Allgemeinen ein eindeutiges Inverses, auch wenn beides für einige Fälle tatsächlich gilt.

Die folgenden Beispiele sind keine Magmen, da die angegebene Verknüpfung nicht für alle möglichen Werte definiert ist (sie sind also Pseudo-Magmen):

  • Die natürlichen Zahlen mit der Subtraktion.
  • Die reellen Zahlen mit der Division.
  • Alle Gleitkommamultiplikationen ohne NaNs oder ∞.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Grundmenge ist unter einer inneren Verknüpfung per Definition abgeschlossen. Ansonsten muss ein Magma keine speziellen Eigenschaften haben. Durch Hinzunahme weiterer Bedingungen werden speziellere Strukturen definiert, die alle wiederum Magmen sind. Typische Beispiele sind:

  • Halbgruppe: ein Magma, dessen Verknüpfung assoziativ ist
  • Monoid: eine Halbgruppe mit einem neutralen Element
  • Quasigruppe: ein Magma, in dem alle Gleichungen der Form ax = b oder xa = b eindeutig nach x auflösbar sind
  • Loop: eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
  • Gruppe: ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses hat
  • Abelsche Gruppe: eine Gruppe, deren Verknüpfung kommutativ ist
  • Mediales Magma: ein Magma, in dem für alle Elemente die Gleichung (a \star b) \star (c \star d) = (a \star c) \star (b \star d) gilt

Freies Magma[Bearbeiten]

Für jede nichtleere Menge X kann man das freie Magma über X definieren als die Menge aller endlichen Binärbäume, deren Blätter mit Elementen von X beschriftet sind. Das Produkt AB zweier Bäume A und B ist der Baum, dessen Wurzel den linken Unterbaum A und den rechten Unterbaum B hat. Aufschreiben kann man die Elemente des freien Magmas durch vollständig geklammerte Ausdrücke.

Sei zum Beispiel X=\{a,b,c\}. Dann enthält das freie Magma über X unter anderem die paarweise verschiedenen Elemente

a,\, b,\, c,\, ab,\, ba,\, (ab)c,\, a(bc),\, (aa)(bb),\, (a(ab))b,\, (ab)(ab).

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Die Bezeichnung Gruppoid wird auch für eine mathematische Struktur in der Kategorientheorie verwendet, siehe Gruppoid (Kategorientheorie).

Literatur[Bearbeiten]

  • Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: Algebra I. Hermann, Paris / Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1974.
  • Lothar Gerritzen: Grundbegriffe der Algebra. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1994. ISBN 3-528-06519-2.
  • Th. Ihringer: Allgemeine Algebra. Heldermann, Lemgo 2003; ISBN 3-88538-110-9.
  • Georges Papy: Einfache Verknüpfungsgebilde: Gruppoide. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1969.