Majorana-Fermion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die nach Ettore Majorana benannten Majorana-Spinoren dienen in der Elementarteilchenphysik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen (d. h. Teilchen mit halbzahligem Spin), wenn diese gleich ihren eigenen Antiteilchen sind: so genannten Majorana-Fermionen. Diese Eigenschaft impliziert, dass die beschriebenen Teilchen keine elektrische Ladung tragen dürfen.

Andernfalls würde es sich um entgegengesetzt geladene und somit klar unterscheidbare Teilchen und Antiteilchen handeln, wie z.B. Elektronen und Positronen. Solche Fermionen, die eine Ladung tragen können, werden als Dirac-Fermionen bezeichnet.

Von den Majorana-Fermionen zu unterscheiden sind außerdem die hypothetischen Majoronen, die zwar ebenfalls nach Ettore Majorana benannt sind, aber als Goldstone-Bosonen ganzzahligen Spin tragen.

Auftreten[Bearbeiten]

Im Standardmodell: ungeklärte Stellung der Neutrinos[Bearbeiten]

Im Standardmodell der Teilchenphysik (SM) ist keines der Elementarteilchen ein Majorana-Fermion. Stattdessen werden hier alle Fermionen durch Dirac-Spinoren beschrieben, auch die Neutrinos, die damit von Antineutrinos unterscheidbar wären. Allerdings sind die Neutrinos im Standardmodell im Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen masselos. Eine populäre Erklärung für die beobachteten Neutrinomassen, der See-Saw-Mechanismus, erfordert dagegen die Beschreibung der Neutrinos durch Majorana-Spinoren und damit die Gleichheit von Neutrinos und Antineutrinos. Dies würde wiederum eine Verletzung der Leptonenzahlerhaltung implizieren, da Teilchen und Antiteilchen dieselbe Leptonenzahl zugewiesen wird.

Ob zwischen Neutrinos und Antineutrinos unterschieden werden kann, ist derzeit noch offen. Eine Möglichkeit zur experimentellen Klärung bietet der neutrinolose Doppel-Betazerfall, der nur möglich ist, falls Neutrinos Majorana-Teilchen sind. Nach diesem Zerfallsmodus wird in Experimenten wie dem Enriched Xenon Observatory[1] gesucht.

Im MSSM[Bearbeiten]

In supersymmetrischen Erweiterungen des Standardmodells wie dem minimalen supersymmetrischen Standardmodell (MSSM) werden sowohl die Gluinos[2] als auch die Neutralinos durch Majorana-Spinoren beschrieben. Neutralinos sind Kandidaten für WIMPs und Dunkle Materie.

Festkörperphysik[Bearbeiten]

In der Festkörperphysik tritt an die Stelle der Teilchen-Antiteilchen-Identität die Teilchen-Loch-Identität.

Theoretische Berechnungen sagen voraus, dass man in Festkörpern Quasiteilchen mit den Eigenschaften von Majorana-Fermionen finden könnte. Im April 2012 haben Forscher der TU Delft um Leo Kouwenhoven diese eventuell experimentell nachgewiesen, eine Überprüfung stand 2012 jedoch noch aus.[3] Danach sollen Majorana-Fermionen bevorzugt bei eindimensionalen Systemen auftreten, als „genau halb-besetzte bzw. halb-unbesetzte“ Zustände - perfekte Teilchen-Loch-Symmetrie - genau in der Mitte zwischen zwei Sequenzen besetzter bzw. unbesetzter Zustände (1-en bzw. 0-en in der folgenden Beispielsequenz: ...00001111111111000000000111100000000...).

Das Zentrum der (farbig unterlegten) „Kink“-Anregungen zwischen je zwei aneinander grenzenden unterschiedlichen Ziffernfolgen (z. B. ...01...- bzw. ...10...) kann als Ort je eines Majorana-Quasiteilchens verstanden werden (z. B. links bzw. rechts an die Sequenz 111111111 angrenzend, mit Besetzungzahl bzw. Unbesetzungzahl 1/2). Die Länge der vorausgehenden bzw. nachfolgenden Sequenzen kann als jeweiliger Abstand zwischen den Quasiteilchen interpretiert werden.

Das beeinflusst die Ankopplung von benachbarten Supraleitern an diese eindimensionalen isolierenden Systeme, weil jetzt die Energielücke zwischen Grundzustand und dem niedrigsten angeregten Zustand des Supraleiters wie bei einer s=1-Wechselwirkung genau im Zentrum an die Majorana-Quasiteilchen ankoppeln kann, während dieses Zentrum sonst, z. B. bei der üblichen Spin-(±1/2)-Supraleitung, keinem Zustand korrespondiert.

Verallgemeinerungen und Äquivalenzen[Bearbeiten]

Das angegebene Modell, obwohl scheinbar sehr speziell, erlaubt eine Vielzahl von Äquivalenzen und Verallgemeinerungen: u.a. auf die (renormierbare!) Thermodynamik des Ising-Modells im Eindimensionalen, auf die pseudo-euklische feldtheoretische Thermodynamik des reellen(!) \Phi^4-Modells, abermals im Eindimensionalen,[4] und auf die im folgenden angegebene klassische feldtheoretische Beschreibung mit nicht-euklidischer Zeit im Spezialfall d=1 des \mathbb R(d,1).

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Ähnlich den masselosen Weyl-Fermionen, für welche die Dirac-Gleichung entkoppelt, sind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch mit Majorana-Masse.

Die Lagrangedichte eines Majorana-Teilchens \psi_M\!\, ist:

 \mathcal{L}=\frac{1}{2} \bar{\psi}_M\Bigl(  \mathrm i  \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M ,

wobei wie in der relativistischen Quantenmechanik üblich \bar\psi_M=\psi_M^\dagger\gamma^0.

Die zugehörige Dirac-Gleichung für \psi_M\!\, lautet:

\Bigl(  \mathrm i  \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M = 0\,.

Setzt man wie bei den Weyl-Fermionen \psi_M=\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R  \end{pmatrix} und beachtet, dass unter einer Lorentztransformation gilt \psi_R = i\sigma^2 \psi_L^*,

so kann man \psi_M=\begin{pmatrix} \chi \\i \sigma^2 \chi^*  \end{pmatrix} setzen

und es ergibt sich die Majorana-Gleichung für das 2-Komponentenfeld \chi\!\,:

i\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\chi - i m \sigma^2\chi^* =0.

Dabei enthält \bar\sigma die Pauli-Spinmatrizen gemäß \bar\sigma=(1,-\vec\sigma).

Die Majorana-Gleichung ist Lorentz-invariant und impliziert die Klein-Gordon-Gleichung, welche die Energie-Impuls-Beziehung festlegt.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Enriched Xenon Observatory
  2. Gluinos im MSSM (englisch)
  3. Pro Physik – Majoranas Spuren (abgerufen am 26. April 2012)
  4. John Kogut: Introduction to Lattice gauge theory and spin systems, Reviews of Modern Physics, Bd. 51, 1979, S. 659–713. Abstract