Malfatti-Kreis

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die drei Malfatti-Kreise eines Dreiecks sind Kreise, von denen jeder zwei Dreiecksseiten und die beiden anderen Kreise berührt.

Malfatti-Kreise sind nach Gianfrancesco Malfatti benannt, der 1803 ihre Konstruktion angab und annahm, dass sie das Malfatti Problem lösen, drei Kreise in ein Dreieck zu packen, die sich nicht überschneiden und maximalen Flächeninhalt haben. Das wurde allerdings 1994 von Zalgaller und Los widerlegt, die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben. Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930[1], und später wurde sogar gezeigt[2], dass sie dies nur in den seltensten Fällen tut. Das ursprüngliche Malfatti Problem wird heute als Malfatti´s Marmor-Problem bezeichnet. Die von Malfatti angegebene Lösung der Aufgabe drei Kreise zu konstruieren, die sich und je zwei Dreiecksseiten berühren als Konstruktionsproblem von Malfatti.[3]

Malfatti-Kreise.png

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:

r_A = \frac{\rho}{2(s-a)} (s - \rho - (\overline{IB} + \overline{IC} - \overline{IA}))
r_B = \frac{\rho}{2(s-b)} (s - \rho - (\overline{IC} + \overline{IA} - \overline{IB}))
r_C = \frac{\rho}{2(s-c)} (s - \rho - (\overline{IA} + \overline{IB} - \overline{IC}))

Dabei steht \rho für den Inkreisradius und s für den halben Dreiecksumfang. I ist der Inkreismittelpunkt.

Das Malfatti Konstruktions-Problem wurde schon in einem Spezialfall von Jakob Bernoulli gelöst (gleichschenkliges Dreieck) und später gaben Jakob Steiner (1826, Crelle´s Journal) auf rein geometrischem Weg und Alfred Clebsch Lösungen, letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle´s Journal). Auch der Japaner Chokuyen Naonobu Ajima (1732-1798) gab im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung.

Literatur[Bearbeiten]

  • Marco Andreatta, Andras Bezdek, Jan P. Boronski The Malfatti Problem: two centuries of debate, Mathematical Intelligencer, 2011, Nr.1
  • Heinrich Dörrie: Malfatti's Problem in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. Dover, New York 1965, ISBN 0-486-61348-8, S. 147-151.
  • M. Goldberg: On the Original Malfatti Problem. In Math. Mag. Nr. 40, 1967, S. 241-247.
  • Charles Stanley Ogilvy: Excursions in Geometry. Dover, New York 1990, ISBN 0-486-26530-7.
  • V.A. Zalgaller, G.A. Los: The solution of Malfatti's problem. In: Journal of Mathematical Sciences. 72, Nr. 4, 1994, S. 3163–3177.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Lob, Richmond On the Solution of Malfatti's Problem for a Triangle, Proc. London Math. Soc. 2, 287-304, 1930
  2. Goldberg On the Original Malfatti Problem, Mathematics Magazine, Band 40, 1967, S. 241-247
  3. Andreatta u.a. Mathematical Intelligencer, 2011, Nr.1, siehe Literatur