Mangoldt-Funktion

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In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit \Lambda bezeichnet wird.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen }\mathrm{l\ddot asst,}\text{ wobei }p\text{ prim und }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}

Sie ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))[Bearbeiten]

exp(Λ(n)) lässt sich explizit angeben als

e^{\Lambda(n)}=\frac{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n)}{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n-1)}

wobei \rm kgV das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge exp(Λ(n)) sind

1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, … (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion[Bearbeiten]

Die summierte Mangoldt-Funktion,

\psi(n)=\sum_{i=1}^n\Lambda(i),

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen[Bearbeiten]

\sum_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)\cdot\log d=\Lambda(n)
\sum_{d|n}\Lambda(d)=\log n\,
\sum_{d|n}\mu(d)\log d=-\Lambda(n)\,
\sum_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)\Lambda(d)=-\mu(n)\log n

wobei \mu(n) die Möbius-Funktion bezeichnet.

Dirichlet-Reihen[Bearbeiten]

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

\log\zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^s}\frac{\Lambda(n)}{\log n}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen \zeta-Funktion und der Mangoldt-Funktion:

\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.

Allgemeiner gilt sogar: Ist f multiplikativ und ihre Dirichletreihe F

F(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}

konvergiert für gewisse s, dann gilt

\frac{F^\prime(s)}{F(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}.

Referenzen[Bearbeiten]