Markow-Kette

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Markow-Kette mit drei Zuständen und unvollständigen Verbindungen

Eine Markow-Kette (englisch Markov chain; auch Markow-Prozess, nach Andrei Andrejewitsch Markow; andere Schreibweisen Markov-Kette, Markoff-Kette, Markof-Kette) ist ein spezieller stochastischer Prozess. Eine Markow-Kette ist darüber definiert, dass durch Kenntnis einer begrenzten Vorgeschichte ebenso gute Prognosen über die zukünftige Entwicklung möglich sind wie bei Kenntnis der gesamten Vorgeschichte des Prozesses.

Man unterscheidet Markow-Ketten unterschiedlicher Ordnung. Im Falle einer Markow-Kette erster Ordnung heißt das: Die Zukunft des Systems hängt nur von der Gegenwart (dem aktuellen Zustand) und nicht von der Vergangenheit ab. Die mathematische Formulierung im Falle einer endlichen Zustandsmenge benötigt lediglich den Begriff der diskreten Verteilung sowie der bedingten Wahrscheinlichkeit, während im zeitstetigen Falle die Konzepte der Filtration sowie der bedingten Erwartung benötigt werden.

Ziel bei der Anwendung von Markow-Ketten ist es, Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten zukünftiger Ereignisse anzugeben.

Die Begriffe Markow-Kette und Markow-Prozess werden im Allgemeinen synonym verwendet. Zum Teil sind aber zur Abgrenzung mit Markow-Ketten Prozesse in diskreter Zeit (diskreter Zustandsraum) gemeint und mit Markow-Prozessen Prozesse in stetiger Zeit (stetiger Zustandsraum).

Beispiele[Bearbeiten]

Numerisches Beispiel einer einfachen Markow-Kette mit den zwei Zuständen E und A.

Markow-Ketten eignen sich sehr gut, um zufällige Zustandsänderungen eines Systems zu modellieren, falls man Grund zu der Annahme hat, dass die Zustandsänderungen nur über einen begrenzten Zeitraum hinweg Einfluss aufeinander haben oder sogar gedächtnislos sind. Ein Beispiel sind Auslastungen von Bediensystemen mit gedächtnislosen Ankunfts- und Bedienzeiten.

Diskrete, endliche Markow-Kette[Bearbeiten]

Ein populäres Beispiel für eine zeitdiskrete Markow-Kette mit endlichem Zustandsraum ist die zufällige Irrfahrt (engl. Random Walk) auf einem diskreten Kreis, modelliert durch den Restklassenring \Bbb Z/n\Bbb Z. Dies führt zum endlichen Zustandsraum S = \left\{ 0,1,2, \dots ,(n-1) \right\} . Hierbei startet man in der Äquivalenzklasse  [0] der 0, und bewegt sich in jedem Schritt aus dem aktuellen Zustand  [i] jeweils mit Wahrscheinlichkeit  1/2 nach  [i+1] oder nach  [i-1] (also anschaulich: einen Schritt nach links oder nach rechts).

Eine (endliche) zufällige Irrfahrt mit zwei absorbierenden Zuständen (ganz links und ganz rechts). Die Zustände „-1“, „0“ und „1“ haben jeweils die gleiche Übergangswahrscheinlichkeit (0,5) zu den Zuständen links und rechts von ihnen.

Bei einem anderen Beispiel wirft man eine Münze immer wieder und notiert bei jedem Wurf, wie oft bislang ‚Kopf‘ erschienen ist. Die Abfolge der so gebildeten Zahlen bildet ebenfalls eine (zeitdiskrete) Markow-Kette, diesmal mit Zustandsraum S = \{0,1,2, \dots \} mit jeweils der Übergangswahrscheinlichkeit  1/2 für den Übergang von  [i] nach  [i+1] und für das Verbleiben in  [i] .

Diskrete, unendliche Markow-Kette: Lamplighter[Bearbeiten]

Bei einer zufälligen Irrfahrt auf \Bbb Z^d wird zu jedem Zeitpunkt eine Lampe am jeweiligen Standort ein- oder ausgeschaltet. Der aktuelle Zustand zum Zeitpunkt n des Markow-Prozesses wird durch zwei Variablen beschrieben: den aktuellen Ort P_n des Lamplighters und die Lampenkonfiguration \eta (z. B. durch eine Abbildung von \Bbb Z^d nach \{0,1\}). Dann ist (Pn, η) ein Markow-Prozess und sogar (Pn) alleine ist ein Markow-Prozess; für sich alleine ist (η) aber kein Markow-Prozess. Ein weiteres Beispiel für eine Markow-Kette mit unendlichem Zustandsraum ist der Galton-Watson-Prozess, der oftmals zur Modellierung von Populationen genutzt wird.

Diskrete Zeit und höchstens abzählbar unendliche Zustandsmenge[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Gegeben sei eine Familie von Zufallsvariablen  Y=(X_t)_{t \in \mathbb{N}} , wobei alle X_t nur Werte aus dem höchstens abzählbaren Zustandsraum  S=\{s_1,s_2,s_3, \dots\} annehmen. Dann heißt  Y eine (diskrete) Markow-Kette genau dann, wenn

\begin{align}
 &\ P(X_{t+1}=s_{j_{t+1}}\mid X_t=s_{j_t}, X_{t-1}=s_{j_{t-1}},\dots,X_0=s_{j_0})\\
=&\ P(X_{t+1}=s_{j_{t+1}}\mid X_t=s_{j_{t}}).
 \end{align}

gilt. Die Übergangswahrscheinlichkeiten hängen also nur von dem aktuellen Zustand ab und nicht von der gesamten Vergangenheit. Dies bezeichnet man als Markow-Eigenschaft oder auch als Gedächtnislosigkeit. Seien

p_{ij}(t):=P(X_{t+1}=s_j \mid X_t=s_i),\quad i,j=1,\dots,m

die Übergangswahrscheinlichkeiten. Diese lassen sich dann in eine quadratische Übergangsmatrix zusammenfassen:

\mathbf{M}(t)= (p_{ij}(t))_{s_i,s_j \in S}

Sind die Übergangswahrscheinlichkeiten unabhängig vom Zeitpunkt t, gilt also  p_{ij}(t)=p_{ij} für alle  t , so heißt die Markow-Kette homogen oder Kette mit stationären Übergangswahrscheinlichkeiten. Bei Homogenität einer Kette definiert man  p_{ij}^t=P(X_{t}=s_j \mid X_0=s_i) als die n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit.

Markow-Kette n-ter Ordnung[Bearbeiten]

Gelegentlich werden auch Markow-Ketten n-ter Ordnung untersucht. Bei diesen hängt der zukünftige Zustand von den n vorherigen Zuständen ab:

\begin{align}
  &\ P(X_{t+1}=s_{j_{t+1}}\mid X_t=s_{j_t}, X_{t-1}=s_{j_{t-1}},\dots,X_0=s_{j_0})\\
 =&\ P(X_{t+1}=s_{j_{t+1}}\mid X_t=s_{j_t},\dots,X_{t-n+1}=s_{j_{t-n+1}}).
 \end{align}

In diesem Sinn sind die oben betrachteten Markow-Ketten Ketten erster Ordnung. Ketten höherer Ordnung werden hier aber nicht weiter betrachtet.

Grundlegende Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Verteilung von  X_0 wird manchmal auch als Startverteilung oder Anfangsverteilung bezeichnet. Bei Vorgabe einer Startverteilung sind alle weiteren Verteilungen  X_t eindeutig bestimmt. Daher hat sich teilweise die verkürzte Notation eingebürgert, nur die Startverteilung  \alpha und den Zeitschritt von Interesse anzugeben:
 P^\alpha(X_t=i):=P(X_t=i|X_0  \ \text{ hat Verteilung } \ \alpha)
Startet man in einem eindeutigen Zustand  j , so wird meist  P^j(X_t=i) geschrieben.
  • Bei einem endlichen Zustandsraum lassen sich Markow-Ketten mittels der Übergangsmatrix und von Wahrscheinlichkeitsvektoren beschreiben. Wählt man einen stochastischen Startvektor  v_0 (als Zeilenvektor) als Startverteilung, so ergibt sich die Verteilung zum Zeitpunkt 1 durch  v_1=v_0M . Damit folgt induktiv  v_n=v_0M^n . Dabei ist dann genau der i-te Eintrag von  v_n die Wahrscheinlichkeit, zum Zeitpunkt n im Zustand i zu sein, wenn mit der Startverteilung  v_0 gestartet wurde.
  • Gemäß der obigen Ausführung lassen sich im Falle der Homogenität und der Endlichkeit des Zustandsraumes leicht die n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten berechnen. Diese sind dann genau
 p_{ij}^t=\left[ M^t\right]_{i,j} ,
also der Eintrag, der in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der t-ten Potenz der Übergangsmatrix steht.
  • Allgemein gilt die Chapman-Kolmogorow-Gleichung. Im Falle eines endlichen Zustandsraumes ist sie genau das komponentenweise Ausschreiben der Matrixmultiplikation.
  • Markow-Ketten sind diskrete dynamische Systeme. Der Zeitraum ist  \mathbb{N} , der Index der Zufallsvariable. Den Zustandsraum im Sinne des dynamischen Systems bilden dann alle Verteilungen auf dem Zustandsraum im Sinne der Markow-Kette. Die Operation  \Phi ordnet dann der Verteilung im t-ten Zeitschritt die Verteilung im (t+1)-ten Zeitschritt zu. Im Falle eines endlichen Zustandsraumes der Markow-Kette ist dies dann genau die iterierte Anwendung der Übergangsmatrix wie oben beschrieben. Einige Begriffe aus der Theorie der dynamischen Systeme haben ein Pendant in der Theorie der Markow-Ketten wie z. B. kritische Punkte und stationäre Verteilungen.
  • Homogene Markow-Ketten mit einer stationären Verteilung als Startverteilung sind stark stationäre stochastische Prozesse.
  • Die oben definierte Übergangsmatrix ist unendlichdimensional, wenn der Zustandsraum abzählbar unendlich ist. Nur im Falle der Endlichkeit des Zustandsraumes handelt es sich um eine Matrix im Sinne der Linearen Algebra.

Beispiele[Bearbeiten]

Endlicher Zustandsraum[Bearbeiten]

Übergangsgraph für die beschriebene Markow-Kette

Wir versuchen, mithilfe einer Markow-Kette eine einfache Wettervorhersage zu bilden. Dazu kodieren wir 1 = "die Sonne scheint", 2 = "es ist bewölkt" und 3 = "es regnet". Als Zeitschritt wählen wir einen Tag. Aus Erfahrung wissen wir, dass wenn heute die Sonne scheint, die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, ungefähr 80 % ist und die Wahrscheinlichkeit, dass es bewölkt ist, ca. 20 % beträgt. Außerdem treffen wir die Annahme, dass sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, die Markow-Kette also homogen ist. Somit wissen wir nun

 P(X_{t+1}=i|X_t=1)=
\begin{cases}
0 & \text{ falls } i=1 \\
0{,}2 & \text{ falls } i=2, \\
0{,}8 & \text{ falls } i=3
\end{cases}

Ist es aber bewölkt, so regnet es mit Wahrscheinlichkeit 0,5 am folgenden Tag und mit Wahrscheinlichkeit von 0,5 scheint die Sonne. Es gilt also

 P(X_{t+1}=i|X_t=2)=
\begin{cases}
0{,}5 & \text{ falls } i=1 \\
0 & \text{ falls } i=2, \\
0{,}5 & \text{ falls } i=3
\end{cases}

Regnet es heute, so scheint danach nur mit Wahrscheinlichkeit von 0,1 die Sonne und mit Wahrscheinlichkeit von 0,9 ist es bewölkt. Damit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeiten

 P(X_{t+1}=i|X_t=3)=
\begin{cases}
0{,}1 & \text{ falls } i=1 \\
0{,}9 & \text{ falls } i=2, \\
0 & \text{ falls } i=3
\end{cases}

Damit ist die Markow-Kette vollständig beschrieben. Anschaulich lassen sich solche Markow-Ketten gut durch Übergangsgraphen darstellen, wie oben abgebildet. Ordnet man nun die Übergangswahrscheinlichkeiten zu einer Übergangsmatrix an, so erhält man

M = \begin{bmatrix}
0 & 0{,}2 & 0{,}8  \\
0 {,}5 & 0 & 0{,}5 \\
0{,}1  & 0{,}9 & 0 
\end{bmatrix}

Wir wollen nun wissen, wie sich das Wetter entwickeln wird, wenn heute die Sonne scheint. Dazu geben wir die Anfangsverteilung  X_0 vor in Form des stochastischen Startvektors  v_0=(1,0,0) . Wir starten also fast sicher im Zustand 1. Multiplikation von links mit der Übergangsmatrix liefert  v_1=v_0M=(0;0{,}2;0{,}8) . Mit achtzigprozentiger Wahrscheinlichkeit regnet es also. Am dritten Tag gilt  v_3=v_0M^3\approx (0{,}3700; 0{,}1260;  0{,}5040) . Somit ist die Regenwahrscheinlichkeit am dritten Tag knapp über 50 % und die Sonnenwahrscheinlichkeit knapp unter 40 %. Somit lässt sich für jedes vorgegebene Wetter am Starttag die Regen- und Sonnenwahrscheinlichkeit an einem beliebigen Tag angeben. Auch Fragestellungen wie: "Heute scheint die Sonne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vor drei Tagen geregnet hat?" lassen sich mit dem Satz von Bayes beantworten.

Abzählbar unendlicher Zustandsraum[Bearbeiten]

Definieren wir nun eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum  \mathbb{Z} und mit Übergangswahrscheinlichkeiten

 P(X_{t+1}=i|X_t=j)=
\begin{cases}
p & \text{ falls } i=j+1 \\
q & \text{ falls } i=j-1, \\
0 & \text{sonst} 
\end{cases}

wobei  p+q=1 , p,q \geq 0 gilt. Dies lässt sich so veranschaulichen: Startet man an einem beliebigen Punkt, so bewegt man sich entweder mit einer Wahrscheinlichkeit von  p nach "rechts", sprich begibt sich zu der nächsthöheren Zahl. Mit Wahrscheinlichkeit  q wandert man nach "links" zu einer niedrigeren Zahl. Entsprechend diesem Vorgehen irrt man dann über den Zahlenstrahl. Daher wird diese Markow-Kette auch Irrfahrt auf  \mathbb{Z} genannt. Gelegentlich wird für solche Markow-Ketten auch der Begriff des Random Walk verwendet. Starten wir im Zustand 0, so ist mit den obigen Übergangswahrscheinlichkeiten

 P^0(X_1=i)= \begin{cases}
p & \text{ falls } i=1 \\
q & \text{ falls } i=-1, \\
0 & \text{ sonst}
\end{cases}

Daraus folgt dann  P^0(X_2=-2)=q^2, P^0(X_2=0)=2pq, P^0(X_2=2)=p^2 . Hier zeigt sich ein gewisser Zusammenhang zur Binomialverteilung. Außerdem gilt aber auch  P^0(X_2=-1)=P^0(X_2=1)=0 . Gewisse Zustände können also nur zu bestimmten Zeiten besucht werden, eine Eigenschaft, die Periodizität genannt wird.

Attribute[Bearbeiten]

Markow-Ketten können gewisse Attribute zukommen, welche insbesondere das Langzeitverhalten beeinflussen. Dazu gehören beispielsweise die folgenden:

Irreduzibilität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Irreduzible Markow-Kette

Irreduzibilität ist wichtig für die Konvergenz gegen einen stationären Zustand. Vereinfacht gesagt ist eine Markow-Kette irreduzibel, wenn für alle Zustände  i und  j gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, in endlicher Zeit von  i nach  j zu kommen, echt positiv ist. Gilt dies für fixierte  i und  j , so sagt man auch, dass  i und  j miteinander kommunizieren.

Periodizität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Periodische Markow-Kette

Periodische Markow-Ketten erhalten trotz aller Zufälligkeit des Systems gewisse deterministische Strukturen. Ist eine Markow-Kette periodisch mit Periode  d , so kann sie höchstens alle  d Zeitschritte wieder zu ihrem Startpunkt zurückkehren (dies ist aber nicht zwingend).

Rekurrenz und Transienz[Bearbeiten]

Hauptartikel: Rekurrenz (Stochastik)

Die Rekurrenz und die Transienz beschreiben das Langzeitverhalten einer Markow-Kette. Wird ein Zustand fast sicher unendlich oft besucht, so heißt er rekurrent, ansonsten transient. Sind alle Zustände rekurrent (transient), so heißt die Markow-Kette rekurrent (transient).

Absorbierende Zustände[Bearbeiten]

Hauptartikel: Absorbierender Zustand

Absorbierende Zustände sind Zustände, welche nach dem Betreten nicht wieder verlassen werden können. Hier interessiert man sich insbesondere für die Absorptionswahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, einen solchen Zustand zu betreten.

Stationäre Verteilungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Stationäre Verteilung

In der Anwendung sind oftmals besonders stationäre Verteilungen interessant. Gibt man diese Verteilungen als Startverteilung von  X_0 vor, so sind alle darauf folgenden Verteilungen der Zustände X_n für beliebiges  n gleich der Startverteilung. Interessant ist hier die Frage, wann solche Verteilungen existieren und wann eine beliebige Verteilung gegen solch eine stationäre Verteilung konvergiert.

Reversibilität[Bearbeiten]

Hauptartikel: Reversible Markow-Kette

Bei reversiblen Markow-Ketten lässt sich nicht unterscheiden, ob sie in der Zeit vorwärts oder rückwärts laufen, sie sind also invariant unter Zeitumkehr. Insbesondere folgt aus Reversibilität die Existenz eines Stationären Zustandes.

Klassische Beispiele[Bearbeiten]

Einige der bekanntesten Markow-Ketten sind

  • Die Irrfahrt auf  \mathbb{Z}^D sowie Verallgemeinerungen auf Graphen.
  • Der Bernoulli-Prozess, welcher sich abhängig von einem Münzwurf auf  \mathbb{Z} bewegt.
  • Der Galton-Watson-Prozess, welcher die Fortpflanzung einer sich eingeschlechtlich fortpflanzenden Spezies Modelliert
  • Das Ehrenfest-Modell zur Modellierung der Diffusion von Molekülen durch Membrane.

Modellierung[Bearbeiten]

Oft hat man in Anwendungen eine Modellierung vorliegen, in welcher die Zustandsänderungen der Markow-Kette durch eine Folge von zu zufälligen Zeiten stattfindenden Ereignissen bestimmt wird (man denke an obiges Beispiel von Bediensystemen mit zufälligen Ankunfts- und Bedienzeiten). Hier muss bei der Modellierung entschieden werden, wie das gleichzeitige Auftreten von Ereignissen (Ankunft vs. Erledigung) behandelt wird. Meist entscheidet man sich dafür, künstlich eine Abfolge der gleichzeitigen Ereignisse einzuführen. Üblicherweise unterscheidet man dabei zwischen den Möglichkeiten Arrival First und Departure First.

Arrival First (AF)[Bearbeiten]

Bei dieser Disziplin wird zu Beginn eines Zeitschrittes das Bedienen gestartet. Danach treffen neue Forderungen ein, und erst am Ende eines Zeitschrittes tritt das Bedien-Ende auf.

Mk af.png

Der Vorteil dieser Disziplin ist, dass Forderungsankünfte immer vor einem möglichen Bedien-Ende eintreffen und damit die PASTA-Eigenschaft (Poisson Arrivals See Time Averages) gilt. Mit Hilfe dieser Eigenschaft lassen sich für Ankünfte, die als Bernoulli-Prozess modelliert sind, unter anderem sehr einfach für Bediensysteme wichtige Eigenschaften wie die Verlustwahrscheinlichkeit P_V berechnen.

Als Nachteil kann eine Forderung, die im Zeitschlitz z_t eintrifft, frühestens in z_{t+1} fertig bedient werden. Dies führt unter Umständen zu einer höheren Anzahl von benötigten Warteplätzen im modellierten System.

Departure First (DF)[Bearbeiten]

Im Fall von Departure First kommen zu Beginn eines Zeitschrittes Forderungen im System an. Darauf folgt der Start von Bedienzeiten und am Ende eines Zeitschrittes das Ende von Bedienzeiten.

Mk df.png

Bei diesem Ansatz gilt die PASTA Eigenschaft nicht mehr, was im Allgemeinen zu komplizierteren Berechnungen als im Falle von Arrival First führt. Eine Forderung kann im selben Zeitschritt eintreffen und fertig bedient werden.

Simulation[Bearbeiten]

Diskrete Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum  S=\{1, \dots, n\} können leicht simuliert werden, wenn Standardzufallszahlen  u_n verfügbar sind. Dazu definiert man  r_i(j)=
\begin{cases}
0 & \text{falls } j=0 \\
\sum_{l=1}^j p_{il} & \text{sonst}
\end{cases}

für alle  i,j \in S . Ist nun  X_n=i , dann setze  X_{n+1}=j genau dann, wenn  u_n \in [r_i(j-1),r_i(j)) ist. Dieses Verfahren ist insbesondere dann effizient, wenn wenige  p_{ij} ungleich Null sind. Es entspricht der Inversionsmethode mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion  p_i(\{j\}):=p_{ij} . Die Möglichkeit, auch große Markow-Ketten zu simulieren, macht man sich beim MCMC-Verfahren zu nutzen, um Verteilungen zu simulieren, die nicht durch klassische Verfahren simuliert werden können.

Stetige Zeit und diskreter Zustandsraum[Bearbeiten]

Analog lässt sich die Markow-Kette auch für kontinuierliche Zeit und diskreten Zustandsraum bilden. Das heißt, dass sich zu bestimmten Zeitpunkten der Zustand sprunghaft ändert.

Sei (X(t))_{t \ge 0} ein stochastischer Prozess mit kontinuierlicher Zeit und diskretem Zustandsraum. Dann gilt bei einem homogenen Markow-Prozess

\forall n \in\N,\ 0 < t_1 < \dotsb < t_n,\ t > 0,\ i_1, \ldots, i_n, j \in S:
\begin{align}
 P(X(t_n + t) = j \mid X(t_n) = i_n, \ldots, X(t_1) = i_1)
 &= P(X(t_n + t) = j \mid X(t_n) = i_n)\\
 &= P(X(t) = j \mid X(0) = i_n)\\
 &=: p_{i_n,j}(t)
\end{align}

Auch hier lassen sich Übergangsmatrizen bilden: P(t) := [ p_{i,j} (t) ] für alle t > 0 und P(0) := I (Hierbei steht I wie üblich für die Einheitsmatrix).

Es gilt die Chapman-Kolmogorow-Gleichung und (P(t))_{t\geq0} ist entsprechend eine Halbgruppe, die unter gewissen Voraussetzungen einen infinitesimalen Erzeuger, nämlich die Q-Matrix hat.

Beispiel hierfür ist der homogene Poisson-Prozess, der die Q-Matrix  p_{ij}=\lambda \mathbf{1}_{\{j=i+1\}} - \lambda \mathbf{1}_{\{j=i\}} besitzt, oder allgemeiner jeder Geburts- und Todesprozess.

Diskrete Zeit und allgemeiner Zustandsraum[Bearbeiten]

Markow-Ketten können auch auf allgemeinen messbaren Zustandsräumen definiert werden. Ist der Zustandsraum nicht abzählbar, so benötigt man hierzu den stochastischen Kern als Verallgemeinerung zur Übergangsmatrix. Dabei ist eine Markow-Kette durch die Startverteilung auf dem Zustandsraum und den stochastischen Kern (auch Übergangskern oder Markowkern) schon eindeutig bestimmt.

Auf dem Gebiet der allgemeinen Markow-Ketten gibt es noch viele offene Probleme. Gut erforscht sind lediglich Harris-Ketten. Ein klassisches Beispiel für einen Markow-Prozess in stetiger Zeit und stetigem Zustandsraum ist der Wiener-Prozess, die mathematische Modellierung der Brownschen Bewegung.

Anwendungen[Bearbeiten]

Markow-Ketten werden in unterschiedlichen Bereichen verwendet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Philipp von Hilgers, Wladimir Velminski (Hg.): Andrej A. Markov. Berechenbare Künste, Zürich/Berlin: diaphanes, 2007. ISBN 978-3-935300-69-8
  • Andrei A. Markov, An Example of Statistical Investigation of the Text Eugene Onegin Concerning the Connection of Samples in Chains, trans. Classical Text in Translation. David Link, Science in Context 19.4 (2006): S. 591–600.
  • Pierre Brémaud: Markov Chains. Springer Verlag, 1999, ISBN 0-387-98509-3
  • Ehrhard Behrends: Introduction to Markov Chains. Vieweg, 2000, ISBN 3-528-06986-4
  • Olle Häggström: Finite Markov Chains and Algorithmic Applications. Cambridge University Press, 2002
  • Daniel W. Stroock: An introduction to Markov processes. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 230. Springer, Heidelberg, 2014. ISBN 978-3-642-40522-8; 978-3-642-40523-5

Weblinks[Bearbeiten]