Marshallsche Nachfragefunktion

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Als marshallsche Nachfragekorrespondenz (auch: walrasianische Nachfragekorrespondenz), benannt nach dem Ökonomen Alfred Marshall, bezeichnet man in der Mikroökonomik und dort speziell in der Haushaltstheorie eine Korrespondenz, die für gegebene Güterpreise und ein gegebenes Vermögen angibt, welche Menge von jedem einzelnen Gut konsumiert werden sollte, wenn man den größtmöglichen Nutzen realisieren möchte.

Sofern für jede Preis-Vermögens-Kombination ein eindeutiges Optimum existiert, lässt sich die marshallsche Nachfragekorrespondenz als Funktion auffassen und man spricht von der marshallschen Nachfragefunktion (auch: walrasianischen Nachfragefunktion).

Nichttechnische Einführung[Bearbeiten]

Idee der Nutzenfunktion
Hauptartikel: Nutzenfunktion und Präferenzrelation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Nachfrage von Konsumenten nach einem Gut zu modellieren. Welche Möglichkeit angemessen ist, hängt davon ab, welche Annahme man über das Zustandekommen der Konsumentscheidung stellt. Man könnte etwa davon ausgehen, dass Konsumenten zufällig irgendeine Kombination von Güterbündeln wählen, ungeachtet dessen wie viel ihnen die entsprechenden Güter überhaupt wert sind; oder man könnte sich vorstellen, dass ein sozialer Planer sämtliches Vermögen der Konsumenten beansprucht und ihnen nach eigenen Kriterien bestimmte Warenkörbe zuteilt. Grundgedanke der modernen Nutzentheorie ist indes, dass Konsumenten ihre Entscheidung über den Konsum der Menge an einen bestimmten Gut aufgrund ihrer Präferenzen treffen. Konsumenten verfügen über individuelle Präferenzordnungen; eine solche Präferenzordnung beinhaltet über alle möglichen Kombinationen sämtlicher Güter hinweg die Information, ob das eine Güterbündel als mindestens so begehrenswert, als ebenso begehrenswert oder als höchstens so begehrenswert wie das andere Güterbündel empfunden wird (ein Beispiel für ein Güterbündel wäre etwa „1 Apfel, 1 Banane, 0 Orangen und 2 Mangos“ und die individuelle Präferenzordnung mag die Information beinhalten, wie sich das Güterbündel „2 Äpfel, 0 Bananen, 1 Orange und 2 Mangos“ für den betrachteten Konsumenten dazu verhält).

Eine einfachere Möglichkeit, diese Information auszudrücken, besteht darin, statt komplexer Ordnungen eine einfache Funktion zu betrachten. Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich eine Nutzenfunktion konstruieren, die für ein gegebenes Güterbündel irgendeine Zahl ausgibt. Diese ist für sich bedeutungslos; ihre Bedeutung ergibt sich erst aus dem Vergleich mit den Nutzenwerten anderer Güterbündel. Daraus wird nämlich offensichtlich, welches Güterbündel der Konsument lieber mag: Je höher der Nutzen eines Güterbündels, desto größer die Anzahl der Güterbündel, die weniger begehrenswert sind.

Die marshallsche Nachfrage

Die marshallsche Nachfrage verbindet diesen Gedanken mit einem verwandten: Ein vernünftiger Konsument wird ein „möglichst gutes“ Güterbündel konsumieren, also eines, das ihm einen möglichst hohen Nutzen verschafft. Allerdings kann nicht in uferlosem Ausmaß konsumiert werden. Jeder Konsument unterliegt einer so genannten Budgetrestriktion, das heißt er kann keine Güterbündel konsumieren, die er sich bei den herrschenden Güterpreisen gar nicht leisten könnte. Unter denjenigen Güterbündeln, die er sich leisten kann, wählt er aber genau das, das ihm den größten Nutzen verschafft. Man stelle sich nun vor, dass es nur zwei Güter gibt, die wir möglichst einfach als „Gut 1“ und „Gut 2“ bezeichnen wollen. Dann beschreibt das folgende Problem das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten:

\max_{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}}u(x_{1},x_{2})     unter der Nebenbedingung     p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq y

mit y dem verfügbaren Vermögen, x_{1,2} der nachgefragten Menge von Gut 1 bzw. 2 und u(x_{1},x_{2}) der Nutzenfunktion des Konsumenten. Um das Problem leichter handhabbar zu machen, setzt man zunächst voraus, dass die Nutzenfunktion stetig ist. Damit ist sichergestellt, dass es bei einer geringfügigen Änderung der Menge eines oder mehrerer Güter in einem Güterbündel keinen plötzlichen „Sprung“ im resultierenden Nutzen gibt. Zwei weitere Bemerkungen scheinen angebracht: 1) Weil die Preise und das Einkommen in dem obigen Maximierungsproblem Variablen sind, wird die Lösung des Problems kein konkretes Güterbündel sein; welches Güterbündel den Ausdruck maximiert, kommt im Konkreten auf die genauen Güterpreise und das verfügbare Vermögen an, sodass die Lösung von diesen Variablen (den Preisen und dem verfügbaren Vermögen) abhängig sein wird. 2) Da über x_{1} (also die nachgefragte Menge von Gut 1) und x_{2} maximiert wird, wird die Lösung des Problems auch für beide Größen einen Optimalwert liefern.

Die optimale Nachfrage nach Gut 1 beträgt x_{1}^{*} und sie ist abhängig vom Preis dieses Gutes, dem Einkommen y>0, das dem Individuum zur Verfügung steht, sowie vom Preis von Gut 2. Intuitiv kann Letzteres zum Beispiel daran eingesehen werden, dass die nutzenmaximierende Nachfrage nach Autos sicherlich auch davon abhängig ist, ob ein Zugticket 500 Euro oder 5 Euro kostet (das schließt nicht aus, dass der Preis im Einzelfall einmal unabhängig davon sein kann). Folglich ergeben sich aus dem Optimierungsproblem optimale Werte für die beiden Güter: x_{1}^{m}(p_{1},p_{2},y) (die marshallsche Nachfrage nach Gut 1) und analog x_{2}^{m}(p_{1},p_{2},y) (die marshallsche Nachfrage nach Gut 2).

Formale Definition[Bearbeiten]

Bezeichne mit x_{i}\geq0 die von einem bestimmten Konsumenten nachgefragte Menge von Gut i, i=1,\ldots,n, und fasse der Vektor \mathbf{x}=(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{\mathbb{R}}_{+}^{n} die Nachfrage bezüglich aller Güter zusammen. Der Preis jedes Gutes sei strikt positiv, p_{i}>0 für alle i=1,\ldots,n, und man vereinbare \mathbf{p}=(p_{1},\ldots,p_{n})\in\mathbb{R}_{++}^{n} als Preisvektor der Ökonomie.[1]

Der Nutzen des Konsumenten folge einer stetigen Nutzenfunktion u(\mathbf{x}). Der Konsument verfüge über ein (reellwertiges) Budget in Höhe von y>0. Betrachte nun das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion:

\max_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}}u(\mathbf{x})     unter der Nebenbedingung    \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots+p_{n}x_{n}\leq y

Definition: Sei u(\mathbf{x}) stetig, \mathbf{x}\in\mathbb{\mathbb{R}}_{+}^{n}, \mathbf{p}\in\mathbb{\mathbb{R}}_{++}^{n} und y>0. Man bezeichnet die Korrespondenz \mathbf{x}^{m}:\mathbb{R}_{++}^{n+1}\twoheadrightarrow\mathbb{R}_{+}^{n}, definiert durch

\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y)\equiv\arg\max\{u(\mathbf{x})|\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y\},[2]

als marshallsche Nachfragekorrespondenz (auch: walrasianische Nachfragekorrespondenz).

Verfügt das Maximierungsproblem für jedes Tupel (\mathbf{p},y) über eine einelementige Lösungsmenge (also eine eindeutige Lösung), so bezeichnet man die Zuordnung \mathbf{x}^m(\mathbf{p},y) als marshallsche Nachfragefunktion (auch: walrasianische Nachfragefunktion).

Eine Korrespondenz ist eine mengenwertige Funktion. Während eine Funktion im engeren Sinne jedem Element aus dem Definitionsbereich ein einziges Element aus der Zielmenge (hier also der Menge der Güterbündel) zuordnet, weist eine Korrespondenz jedem Element aus dem Definitionsbereich eine Teilmenge der Zielmenge zu. Die marshallsche Nachfragefunktion kann man also als einen Spezialfall der Nachfragekorrespondenz auffassen, bei dem jedem Tupel (\mathbf{p},y) eine genau einelementige Teilmenge der Zielmenge zugeordnet wird.

Andere Schreibweisen für die Definition der marshallschen Nachfragekorrespondenz sind ebenfalls gebräuchlich.[3] Es ist trivialerweise etwa

\begin{align}
\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y)&\equiv\arg\max\{u(\mathbf{x})|\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y\}\\
&=\left\{ \mathbf{x}\in B_{\mathbf{p},y}\left|\left(\forall\mathbf{x}'\in \mathbb{R}_{+}^{n}\right):u(\mathbf{x}')>u(\mathbf{x})\Rightarrow\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}'>y\right.\right\}\end{align}

mit

B_{\mathbf{p},y}\equiv\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}_{+}^{n}\left|\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y\right.\}

der zulässigen Menge (Budgetmenge). In Worten: Die marshallsche Nachfrage bei einem gegebenen Preissystem und einem gegebenen Haushaltsvermögen entspricht genau der Menge jener zulässigen Güterbündel, die die Eigenschaft haben, dass sämtliche Güterbündel mit strikt größerem Nutzen derart teuer wäre, dass sie die Budgetrestriktion verletzen.

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten]

Existenz und Kompaktheit

Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist kompaktwertig[4] und nichtleer.

Beide Eigenschaften folgen unmittelbar aus dem Maximumsatz von Berge, auf den weiter unten unter „Stetigkeitseigenschaften“ näher eingegangen wird. Alternativ kann man die Eigenschaften auch direkt zeigen.
Um einzusehen, dass die Nachfragekorrespondenz nichtleer ist, genügt es zu zeigen, dass die Budgetmenge B_{\mathbf{p},y} kompakt ist.[5] Denn nach dem Extremwertsatz von Weierstraß nimmt eine stetige Funktion über einer kompakten Menge stets einen Minimal- und einen Maximalwert ein, das heißt das obige Nutzenmaximierungsproblem hat für alle (\mathbf{p},y) auch mindestens eine Lösung. Die Budgetmenge ist nun kompakt genau dann, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist (Satz von Heine-Borel). Das ist der Fall: beschränkt ist sie, weil bei der vorausgesetzten strikten Positivität der Preise stets x_{i}\leq y/p_{i} sowie zugleich x_{i}\geq0 für alle i=1,\ldots,n und für alle \mathbf{x}\in B_{\mathbf{p},y}; und abgeschlossen ist sie, weil sie über schwache Ungleichungen definiert ist.

Konvexität und Funktionseigenschaft

1. Sei die Nutzenfunktion quasikonkav. Dann ist die marshallsche Nachfragekorrespondenz konvexwertig.
2. Sei die Nutzenfunktion strikt quasikonkav. Dann ist die marshallsche Nachfragekorrespondenz einelementig für alle (\mathbf{p},y)\in\mathbb{R}_{++}^{n+1}, mit anderen Worten: \mathbf{x}^m(\mathbf{p},y) ist eine Funktion.

Zu diesen beiden Eigenschaften sei bemerkt, dass die einer quasikonkaven Nutzenfunktion u zugrunde liegende Präferenzordnung \succsim konvex ist; zu (2.), dass die einer strikt quasikonkaven Nutzenfunktion u zugrunde liegende Präferenzordnung strikt konvex ist.[6] Man beachte, dass es für (1.) und (2.) aber nicht genügt, die Konvexität (bzw. strikte Konvexität) der Präferenzordnung vorauszusetzen. Zwar impliziert in der Tat auch umgekehrt die (strikte) Konvexität von \succsim, dass jede repräsentierende Nutzenfunktion u (strikt) quasikonkav ist.[7] Allerdings existiert nicht für jede (strikt) konvexe Präferenzordnung eine reellwertige Repräsentation. So sind etwa, um das berühmte Beispiel von Debreu (1959[8]) aufzugreifen, lexikographische Präferenzordnungen strikt konvex, aber nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar. Es ist jedoch möglich, die hier eingeführten Konzepte auch auf Grundlage von Präferenzordnungen einzuführen, sodass es nicht mehr auf eine Repräsentationsfunktion ankommt.[9]
Der Beweis von (1.) beruht auf der Betrachtung zweier Güterbündel \mathbf{x},\mathbf{x}'\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y), \mathbf{x}\neq\mathbf{x}'. Aus der Definition der marshallschen Nachfrage folgt zunächst, dass u(\mathbf{x})=u(\mathbf{x}'). Bezeichne man dieses Nutzenniveau mit u_{0}. Für eine quasikonkave Nutzenfunktion gilt definitionsgemäß, dass mit \mathbf{x}''\equiv\alpha\mathbf{x}+(1-\alpha)\mathbf{x}' auch u(\mathbf{x}'')\geq u_{0} für alle \alpha\in [0,1]. Zudem ist \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}''=\mathbf{p}\cdot[\alpha\mathbf{x}+(1-\alpha)\mathbf{x}']\leq y, weil \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y und \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}'\leq y nach Definition der marshallschen Nachfrage. Folglich ist \mathbf{x}''\in B(\mathbf{p},y). Daraus und mit u(\mathbf{x}'')\geq u_{0} folgt schließlich, dass \mathbf{x}''\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y). Also ist \mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y) konvex.
Zu (2.): (Beweis durch Widerspruch:) Betrachte wiederum zwei Güterbündel \mathbf{x},\mathbf{x}'\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y), \mathbf{x}\neq\mathbf{x}'. Abermals gilt definitionsgemäß u(\mathbf{x})=u(\mathbf{x}'). Strikte Quasikonkavität impliziert aber u(\alpha\mathbf{x}+(1-\alpha)\mathbf{x}')>u(\mathbf{x}') für alle \alpha\in (0,1) – ein Widerspruch.

Homogenität

Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist homogen vom Grad null in (\mathbf{p},y), das heißt \mathbf{x}^m(\alpha\mathbf{p},\alpha y)=\mathbf{x}^m(\mathbf{p},y) für alle (\mathbf{p},y)\in\mathbb{R}_{++}^{n+1} und für alle \alpha>0.

Es macht für die Konsumentscheidung demnach keinen Unterschied, wenn sowohl das Vermögen als auch alle Güterpreise um denselben Faktor ansteigen bzw. fallen. Dies schließt etwa auch aus, dass es eine Rolle spielt, in welcher Währung Vermögen und Preise fakturiert sind. Die Eigenschaft folgt wegen B_{\alpha\mathbf{p},\alpha y}=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}|\alpha\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq\alpha y\}=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}|\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y\}=B_{\mathbf{p},y}, das heißt die Budgetmenge bleibt bei der Modifikation um \alpha >0 identisch. Damit bleibt freilich auch die Lösung des Maximierungsproblems von der simultanen Vermögens- und Preisänderung unberührt.

Stetigkeitseigenschaften

1. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist oberhemistetig[10].
2. Falls die marshallsche Nachfragekorrespondenz für gewisses (\mathbf{p},y) einelementig und folglich eine Funktion ist, dann ist diese stetig.

Die Eigenschaften folgen unmittelbar aus dem Maximum-Satz (Satz von Berge), für das auf eine Fußnote verwiesen wird.[11] Zentrale Voraussetzung für dessen Anwendbarkeit ist die Stetigkeit der durch (\mathbf{p},y)\rightarrow\!\!\!\!\!\!\!\mapsto B(\mathbf{p},y) gegebenen Budgetkorrespondenz, wobei man eine Korrespondenz genau dann als stetig bezeichnet, wenn sie sowohl ober- als auch unterhemistetig[10] ist. Diese beiden Eigenschaften wiederum kann man für die Budgetkorrespondenz nacheinander zeigen.[12]

Abgeschlossenheitseigenschaften

1. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist abgeschlossenwertig[13].
2. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz verfügt über einen abgeschlossenen Graphen[14].

Es genügt, eine dieser Eigenschaften zu zeigen. Die jeweils andere folgt mit einem der folgenden Sätze (unter Zuhilfenahme bereits gezeigter Eigenschaften):[15]

a) Jede oberhemistetige und abgeschlossenwertige Korrespondenz verfügt über einen abgeschlossenen Graphen.
b) Jede kompaktwertige Korrespondenz mit einem abgeschlossenen Graphen ist abgeschlossenwertig.

Nachfolgend wird der Beweis für (2.) skizziert.[16] Betrachte eine Folge \left\{ (\mathbf{p}_{k},y_{k})\right\} _{k\in\mathbb{N}} im \mathbb{R}_{++}^{n+1} mit dem Grenzwert (\mathbf{p},y)\in\mathbb{R}_{++}^{n+1} sowie eine Folge \left\{ (\mathbf{x}_{k})\right\} _{k\in\mathbb{N}} im \mathbb{R}_{+}^{n} mit dem Grenzwert \mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}. Sei ferner \mathbf{x}_{k}\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p}_{k},y_{k}) für alle k\in\mathbb{N}. Zu zeigen: \mathbf{x}\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y).
Nach Definition der marshallschen Nachfrage ist \mathbf{p}_{k}\cdot\mathbf{x}_{k}\leq y_{k} für alle k\in\mathbb{N} und wegen \mathbf{x}_{k}\in\mathbb{R}_{+}^{n} für alle k\in\mathbb{N} daher im Grenzwert auch \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}\leq y. Also ist \mathbf{x}\in B_{\mathbf{p},y}.
(Beweis durch Widerspruch:) Man nehme an, dass \mathbf{x}\notin\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y). Dann gäbe es definitionsgemäß ein \mathbf{x}^{alt}\in B_{\mathbf{p},y}, mit dem u(\mathbf{x}^{alt})>u(\mathbf{x}). Also gäbe es auch eine geeignete Umgebung U_{0} um \mathbf{x} sowie eine geeignete Umgebung U_{alt} um \mathbf{x}^{alt} so, dass u(\mathbf{x}'')>u(\mathbf{x}') für alle (\mathbf{x}',\mathbf{x}'')\in U_{0}\times U_{alt}. Und wegen \mathbf{x}^{alt}\in B_{\mathbf{p},y}\Rightarrow\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}^{alt}\leq y gäbe es ferner ein \mathbf{x}''\in U_{alt} mit \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}''<y (Stetigkeit und strikte Positivität der Preise). Aus \left\{ (\mathbf{p}_{k},y_{k})\right\} _{k\in\mathbb{N}}\rightarrow(\mathbf{p},y) folgt dann, dass \mathbf{p}_{k}\cdot\mathbf{x}''\leq y_{k} für hinreichend großes k\in\mathbb{N}, sodass \mathbf{x}''\in B_{\mathbf{p}_{k},y_{k}}\cap U_{alt}. Zugleich folgt aus \left\{ (\mathbf{x}_{k})\right\} _{k\in\mathbb{N}}\rightarrow\mathbf{x}, dass \mathbf{x}_{k}\in U_{0} für hinreichend großes k\in\mathbb{N}. Zusammengefasst: u(\mathbf{x}'')>u(\mathbf{x}_{k}) für hinreichend großes k\in\mathbb{N}. Das widerspricht aber der Annahme, dass \mathbf{x}_{k}\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p}_{k},y_{k}). Also ist \mathbf{x}\in\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y), was zu zeigen war.

Walras-Gesetz

Sei die der Nutzenfunktion zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt. Dann genügt die marshallsche Nachfrage dem Walras-Gesetz, das heißt es gilt \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}^{m}=y.

Die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung ist eine gängige Forderung, die an Präferenzordnungen gestellt wird. Sie besagt salopp gesagt, dass man jedes Güterbündel stets minimal so modifizieren kann, dass das resultierende Güterbündel strikt gegenüber dem Ausgangsbündel bevorzugt wird. Für die formale Definition wird auf eine Fußnote verwiesen.[17] Lokale Nichtsättigung ist offensichtlich eine schwächere Anforderung an die Präferenzordnung als strenge Monotonie. Weil jede streng monoton steigende Nutzenfunktion auf einer streng monotonen Präferenzordnung gründet, ist die obige Voraussetzung für die Gültigkeit des Walras-Gesetzes also trivialerweise bei einer streng monoton steigenden Nutzenfunktionen erfüllt.

Analytische Bestimmung[Bearbeiten]

Ohne Nichtsättigungsannahme[Bearbeiten]

Unter der Annahme, dass die Nutzenfunktion stetig differenzierbar ist, liefert das Karush-Kuhn-Tucker-Verfahren (KKT-Verfahren) notwendige Bedingungen für das obige Nutzenmaximierungsproblem. Bezeichne man

\mathcal{L}(\mathbf{x},\lambda)=u(\mathbf{x})+\lambda(y-\mathbf{p\cdot x}).

als Langragefunktion des Nutzenmaximierungsproblems.

KKT-Theorem angewandt auf das Nutzenmaximierungsproblem:[18]

1. Sei u stetig differenzierbar, \mathbf{x}^{*} eine Lösung des Nutzenmaximierungsproblems und \mathbf{x}^{*} ein innerer Punkt des \mathbb{R}_{+}^{n}. Dann existiert ein reelles \lambda^{*} so, dass in \mathbf{x}=\mathbf{x}^{*} die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) \frac{\partial\mathcal{L}(\mathbf{x})}{\partial x_{i}}=\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_{i}}-\lambda^{*}p_{i}=0 für alle i=1,\ldots,n
ii) \lambda^{*}\geq0
iii) \lambda^{*}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}-y)=0

2. Sei u stetig differenzierbar und quasikonkav. Existiere ein zulässiges \mathbf{x}^{*} und ein \lambda^{*} so, dass

i) die Bedingungen (1)(i)–(iii) erfüllt sind und
ii) der Gradient \nabla u(\mathbf{x}^{*})\neq\mathbf{0} ist.

    Dann ist \mathbf{x}^{*} eine Lösung des Nutzenmaximierungsproblems.

3. Sei u darüber hinaus sogar konkav. Dann kann auf Bedingung (2)(ii) verzichtet werden.

Man beachte, dass es sich bei (1)(i)–(iii) um notwendige (nicht aber hinreichende) Bedingungen für ein Optimum handelt, und dies auch nur unter der Voraussetzung, dass der Optimalpunkt im Inneren des positiven Orthanten liegt, dass also, mit anderen Worten, von jedem Gut eine strikt positive Menge konsumiert wird. Dass eine solche Lösung aber überhaupt existiert, ist bei derart allgemein gehaltenen Annahmen schon nicht gewährleistet; die geforderte Eigenschaft der Stetigkeit impliziert lediglich, dass es irgendein Maximum gibt – ein solches kann durchaus auch ein Randpunkt sein. In diesem sind die KKT-Bedingungen im Allgemeinen nicht erfüllt.

Bedingung (2)(ii) ist sehr niederschwellig; gefordert ist lediglich, dass irgendein Gut einen strikt positiven Grenznutzen liefert.

Mit Nichtsättigungsannahme[Bearbeiten]

Geht man – wie gängigerweise der Fall – davon aus, dass die der Nutzenfunktion zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt ist und gilt also das Walras-Gesetz (siehe oben), dann bindet die Budgetrestriktion im Optimum immer. Das Nutzenmaximierungsproblem vereinfacht sich damit zu einem Optimierungsproblem mit Gleichheitsrestriktion:

\max_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}_{+}^{n}}u(\mathbf{x})    unter der Nebenbedingung    \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}=y.

Interpretation der Optimalitätsbedingungen[Bearbeiten]

Sofern entweder lokal nicht gesättigte Präferenzen zugrunde liegen oder aus anderen Gründen \lambda>0, gilt im Optimum die Bedingung erster Ordnung

\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_{i}}-\lambda^{*}p_{i}=0 für alle i=1,\ldots ,n.

Das impliziert für zwei Güter i und j:

\frac{\partial u(\mathbf{x})/\partial x_{i}}{\partial u(\mathbf{x})/\partial x_{j}}=\frac{p_{i}}{p_{j}}.

Die linke Seite dieser Gleichung ist die Grenzrate der Substitution von Gut i bezüglich Gut j (auf einer Indifferenzkurve), die rechte Seite ist der Kehrwert des Preisverhältnisses der beiden Güter.

Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Die Matrixgleichung der Konsumnachfrage[Bearbeiten]

Weil es für die nachfolgende Betrachtung erheblich ist, wird die verkürzte Darstellung der (Matrix-)Vektorprodukte kurzzeitig aufgegeben und explizit formuliert, ob es sich um einen Spalten- oder einen Zeilenvektor handelt. \mathbf{x} und \mathbf{p} seien beide Spaltenvektoren.

Betrachte die Bedingungen erster Ordnung

\frac{\partial\mathcal{L}(\mathbf{x})}{\partial x_{i}}=0\Rightarrow\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_{i}}=\lambda p_{i} für alle i=1,\ldots,n \Rightarrow\nabla u(\mathbf{x})=\lambda\mathbf{p}

(mit \nabla u(\mathbf{x}) dem Gradienten der Nutzenfunktion) sowie die Nebenbedingung

\mathbf{p}^{T}\mathbf{x}=y

Man bildet von diesen Bedingungen jeweils das totale Differential:[19]

U\mathrm{d}\mathbf{x}=\mathbf{p}\mathrm{d}\lambda+\lambda\mathrm{d}\mathbf{p}
\mathbf{p}^{T}\mathrm{d}\mathbf{x}+\mathbf{x}^{T}\mathrm{d}\mathbf{p}=\mathrm{d}y

mit U der n\times n-Hessematrix der Nutzenfunktion, deren (i,j)-tes Element durch \partial^{2}u(\mathbf{x})/\partial x_{i}\partial x_{j} gegeben ist, und überführt dieses System in Matrixschreibweise:

\left(\begin{array}{cc}
U & \mathbf{p}\\
\mathbf{p}^{T} & 0
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}\mathbf{x}\\
-\mathrm{d}\lambda
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \lambda I\\
1 & -\mathbf{x}^{T}
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}y\\
\mathrm{d}\mathbf{p}
\end{array}\right)

Man bezeichnet diese Gleichung im Anschluss an Barten (1966[20]) bisweilen als „Hauptmatrixgleichung der Konsumnachfrage“ (fundamental matrix equation of consumer demand).[21] Bezeichne diesen Ausdruck mit (a). Betrachte ferner das Nachfragesystem

x_{i}=x_{i}(\mathbf{p},y) für alle i=1,\ldots,n
\lambda=\lambda(\mathbf{p},y).

Bilde man auch hiervon das totale Differential:

\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}\mathbf{x}\\
-\mathrm{d}\lambda
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{x}_{y} & X_{\mathbf{p}}\\
-\lambda_{y} & -\lambda_{\mathbf{p}}^{T}
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d}y\\
\mathrm{d}\mathbf{p}
\end{array}\right)

mit \lambda_{\mathbf{p}}=(\partial\lambda/\partial p_{1},\ldots,\partial\lambda/\partial p_{n})^{T}, \lambda_{y}=\partial\lambda/\partial y, \mathbf{x}_{y}=(\partial x_{1}/\partial y,\ldots,\partial x_{n}/\partial y)^{T} und X_{\mathbf{p}} einer (n\times n)-Matrix mit (i,j)-tem Element \partial x_{i}/\partial p_{j}. Bezeichne diesen Ausdruck mit (b).

(b) in (a) liefert

\left(\begin{array}{cc}
U & \mathbf{p}\\
\mathbf{p}^{T} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{x}_{y} & X_{\mathbf{p}}\\
-\lambda_{y} & -\lambda_{\mathbf{p}}^{T}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \lambda I\\
1 & -\mathbf{x}^{T}
\end{array}\right)

oder – Regularität von U vorausgesetzt – anders formuliert

\begin{align}
\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{x}_{y} & X_{\mathbf{p}}\\
-\lambda_{y} & -\lambda_{\mathbf{p}}^{T}
\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc}
U & \mathbf{p}\\
\mathbf{p}^{T} & 0
\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \lambda I\\
1 & -\mathbf{x}^{T}
\end{array}\right)\\
&=\frac{1}{\mathbf{p}^{T}U^{-1}\mathbf{p}}\left(\begin{array}{cc}
(\mathbf{p}^{T}U^{-1}\mathbf{p})U^{-1}-U^{-1}\mathbf{p}(U^{-1}\mathbf{p})^{T} & U^{-1}\mathbf{p}\\
(U^{-1}\mathbf{p})^{T} & -1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \lambda I\\
1 & -\mathbf{x}^{T}
\end{array}\right)\\
&=\frac{1}{\mathbf{p}^{T}U^{-1}\mathbf{p}}\left(\begin{array}{cc}
U^{-1}\mathbf{p} & (\mathbf{p}^{T}U^{-1}\mathbf{p})\lambda U^{-1}-\lambda(U^{-1}\mathbf{p})(U^{-1}\mathbf{p})^{T}-U^{-1}\mathbf{p}\mathbf{x}^{T}\\
-1 & \lambda(U^{-1}\mathbf{p})^{T}+\mathbf{x}^{T}
\end{array}\right)
\end{align}

Differenzierbarkeitseigenschaft[Bearbeiten]

1. Theorem (Katzner 1968[22]):[23] Das System der marshallschen Nachfragen \mathbf{x}^{m} ist stetig differenzierbar in (\mathbf{p}^0,y^0) genau dann (und nur dann), wenn gilt:

\left(\begin{array}{cc}
U & \mathbf{p}\\
\mathbf{p}^{T} & 0
\end{array}\right)

ist regulär an der Stelle \mathbf{x}=\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p}^0,y^0).

2. Lemma:[24] Die Bedingung unter (1.) ist genau dann (und nur dann) erfüllt, wenn gilt:

\left(\begin{array}{cc}
U & \nabla u(\mathbf{x})\\
\left[\nabla u(\mathbf{x})\right]^{T} & 0
\end{array}\right)

ist nichtsingulär. Bei dieser Matrix handelt es sich um die geränderte Hesse-Matrix der Nutzenfunktion.

Übergang zur indirekten Nutzenfunktion[Bearbeiten]

Setzt man die erhaltene marshallsche Nachfrage \mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y) wieder in die ursprüngliche Nutzenfunktion u(\mathbf{x}) ein, so erhält man eine Nutzenfunktion u, die abhängig von den Güterpreisen und dem Einkommen y ist. Man bezeichnet sie als indirekte Nutzenfunktion v=u[\mathbf{x}^{m}(\mathbf{p},y)] und vereinbart v=v(\mathbf{p},y). Die indirekte Nutzenfunktion gibt für eine gegebene marshallsche Nachfrage das konkrete Nutzenniveau an, das maximal erreicht werden kann.

Zusammenhang zur Hicks’schen Nachfragefunktion[Bearbeiten]

Während die marshallsche Nachfrage wie gezeigt aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts resultiert und die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – angibt, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen y ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen, resultiert die Hicks’sche Nachfrage aus dem Ausgabenminimierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau \overline{u} zu erreichen.

Zwischen marshallscher und Hicks’scher Nachfrage besteht allerdings trotz des konzeptionellen Unterschiedes ein enger funktionaler Zusammenhang, für den auf den überstehend genannten Hauptartikel verwiesen wird.

Beispiel im Zwei-Güter-Fall[Bearbeiten]

Ausgangsproblem[Bearbeiten]

Man betrachte einen Markt für Äpfel (Gut 1) und Bananen (Gut 2), deren nachgefragte Mengen man mit x_{1} bzw. x_{2} bezeichnet. Der Preis eines Apfels betrage p_{1}=2 , der einer Banane p_{2}=4 . Das Budget des Haushalts beträgt y=40 , und er konsumiere ausschließlich Äpfel und Bananen. Der Nutzen des Haushalts folgt einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.4}\cdot x_{2}^{0.6} . Dann ist

\max_{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}_{+}^{2}}x_{1}^{0.4}\cdot x_{2}^{0.6} unter der Nebenbedingung p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq y

das Nutzenmaximierungsproblem. Man löst dieses Problem mit Ungleichheitsrestriktion mithilfe der Karush-Kuhn-Tucker-Methode. Die Lagrangefunktion lautet

\mathcal{L}(x_{1},x_{2};\lambda)=u(x_{1},x_{2})-\lambda(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-y).

Notwendige Bedingungen für das Nutzenoptimum sind:

  1. \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}(x_{1}^{*},x_{2}^{*};\lambda^{*})=\frac{\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{1}}-\lambda^{*}p_{1}=0.4\left(x_{1}^{*}\right){}^{-0.6}\left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}-p_{1}\lambda^{*}=0
  2. \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}(x_{1}^{*},x_{2}^{*};\lambda^{*})=\frac{\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{2}}-\lambda^{*}p_{2}=0.6\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\left(x_{2}^{*}\right){}^{-0.4}-p_{2}\lambda^{*}=0
  3. \lambda(p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}-y)=0 und \lambda\geq 0.

Bedingung 3 wäre mit \lambda^{*}=0 Genüge getan, dies würde aber x_{1}x_{2}=0 implizieren (was der Annahme positiver Grenznutzen beider Güter widerspricht), weshalb angenommen wird, dass die Budgetrestriktion bindend ist (also p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}-y=0 – das gesamte Konsumbudget wird für die beiden Güter ausgegeben). Aus Bedingung 1 und 2 folgt sodann durch Division

\frac{0.6\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\left(x_{2}^{*}\right){}^{-0.4}}{0.4\left(x_{1}^{*}\right){}^{-0.6}\left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{x_{1}^{*}}{x_{2}^{*}}=\frac{p_{2}\lambda^{*}}{p_{1}\lambda^{*}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\implies { \color{BrickRed} x_{2}^{*}=1.5x_{1}^{*}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}} } = 0.75x_{1}^{*}

und also wegen der bindenden (mit Gleichheit erfüllten) Budgetbedingung

\underbrace{p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}\cdot1.5x_{1}^{*}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}}_{=2.5p_{1}x_{1}^{*}}-y=0\implies { \color{BrickRed} x_{1}^{*}=\frac{y}{2.5p_{1}}}=\frac{40}{5}=8.

Damit ergibt sich wiederum x_{2}^{*}=0.75\cdot8=6 .

Im Haushaltsoptimum werden also 8 Äpfel und 6 Bananen nachgefragt.

Indirekte Nutzenfunktion[Bearbeiten]

Die indirekte Nutzenfunktion lautet im Beispiel

v(p_{1},p_{2};y)=u\left[x_{1}^{*}(p_{1},p_{2};y),x_{2}^{*}(p_{1},p_{2};y)\right]=\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\cdot\left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}

Für x_{1}^{*} und x_{2}^{*} können potenziell die oben dunkelrot eingefärbten Ausdrücke eingesetzt werden; allerdings muss aus dem Ausdruck für x_{2}^{*} zunächst noch das x_{1}^{*} eliminiert werden (die indirekte Nutzenfunktion soll nicht explizit von der optimalen Gütermenge abhängig sein):

{ \color{BrickRed} x_{2}^{*}=1.5x_{1}^{*}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}} }=1.5\cdot\frac{y}{2.5p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}\implies { \color{Fuchsia} x_{2}^{*}=\frac{1.5}{2.5}\frac{y}{p_{2}} }

Damit gilt nun

v(p_{1},p_{2};y)=\left({ \color{BrickRed} \frac{y}{2.5p_{1}} }\right)^{0.4}\cdot\left({ \color{Fuchsia} \frac{1.5}{2.5}\frac{y}{p_{2}} }\right)^{0.6}\approx\frac{0.51y}{p_{1}^{0.4}p_{2}^{0.6}}

Die indirekte Nutzenfunktion gibt, gegeben die Güterpreise und das Einkommen, das maximal mögliche Nutzenniveau an. Man kann entsprechend überprüfen, welches Ergebnis sie mit den oben vereinbarten Werten für p_{1}, p_{2} und y liefert, und findet so, dass damit

v\approx\frac{0.51\cdot40}{2^{0.4}\cdot4^{0.6}}\approx6.73.

Und in der Tat gilt mit den oben erhaltenen optimalen Gütermengen x_{1}^{*}=8 und x_{2}^{*}=6 :

u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=8^{0.4}\cdot6^{0.6}\approx6.73.

Literatur[Bearbeiten]

  • Anton Barten und Volker Böhm: Consumer Theory. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 382–429 (auch online: doi:10.1016/S1573-4382(82)02004-9).
  • Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7 (auch online: doi:10.1007/978-3-642-22150-7).
  • Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe und Juraj Zeman: An Introduction to Mathematical Analysis For Economic Theory and Econometrics. Princeton University Press, Princeton und Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3.
  • Gerard Debreu: Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, New Haven und London 1959.
  • Arthur S. Goldberger: Functional form and utility. A review of consumer demand theory. Westview Press, Boulder 1987, ISBN 0-8133-7489-8.
  • Donald W. Katzner: Static Demand Theory. Macmillan, New York 1970.
  • David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
  • James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u.a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8).
  • Efe A. Ok: Real Analysis with Economic Applications. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3.
  • Eugene Silberberg: Hicksian and Marshallian demands. In: Steven N. Durlauf und Lawrence E. Blume (Hrsg.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Auflage. Palgrave Macmillan 2008, doi:10.1057/9780230226203.0731 (Online-Ausgabe).
  • Mark Voorneveld: Mathematical foundations for microeconomic theory: Preference, utility and choice. Skriptum, Stockholm School of Economics, 2009, Internet https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf, abgerufen am 5. Mai 2014.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. \mathbb{R}_{+}^{n} ist die Menge aller Tupel (x_{1},\ldots,x_{n}) reeller Zahlen mit x_{i}\geq0; \mathbb{R}_{++}^{n} die Menge aller Tupel (x_{1},\ldots,x_{n}) reeller Zahlen mit x_{i}>0.
  2. \arg\max(\cdot) bezeichnet das Argument des Maximums.
  3. Vgl. Moore 2007, S. 88.
  4. Seien X und Y zwei metrische Räume. Man bezeichnet eine Korrespondenz \Gamma:X\twoheadrightarrow Y als kompaktwertig, wenn \Gamma(\mathbf{x}) für alle \mathbf{x}\in X eine kompakte Teilmenge von Y ist.
  5. Zum Folgenden etwa Kreps 2012, S. 53; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 50 f.
  6. Vgl. etwa Kreps 2012, S. 34.
  7. Dazu Kreps 2012, S. 34.
  8. Gerard Debreu: Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, New Haven und London 1959, hier S. 72 f.
  9. Dazu vgl. etwa Moore 2007, Kapitel 4; Ariel Rubinstein: Lecture Notes in Microeconomic Theory. Lecture 5. Internet http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture5.pdf, abgerufen am 6. Mai 2014.
  10. a b Man bezeichnet eine Korrespondenz \Gamma:X\subseteq\mathbb{R}^{l}\twoheadrightarrow\mathbb{R}^{m} als oberhemistetig, wenn an jedem Punkt \mathbf{x}^{0}\in X Folgendes gilt: Zu jeder offenen Menge U, die \Gamma(\mathbf{x}^{0}) beinhaltet, existiert eine Umgebung N_{\epsilon} um \mathbf{x}^{0} so, dass \Gamma(\mathbf{x})\subseteq U für alle \mathbf{x}\in N_{\epsilon}\cap X.
    Man bezeichnet eine Korrespondenz \Gamma:X\subseteq\mathbb{R}^{l}\twoheadrightarrow\mathbb{R}^{m} als unterhemistetig, wenn an jedem Punkt \mathbf{x}^{0}\in X Folgendes gilt: Wann immer \mathbf{y}^{0}\in\Gamma(\mathbf{x}^{0}) und durch \{\mathbf{x}_{k}\} eine gegen \mathbf{x}^{0} konvergierende Folge in X gegeben ist, dann existiert eine natürliche Zahl k_{0} und eine Folge \{\mathbf{y}_{k}\}_{k=k_{o}}^{\infty} in Y, die gegen \mathbf{y}^{0} konvergiert und für die gilt, dass \mathbf{y}_{k}\in\Gamma(\mathbf{x}_{k}) für alle k\geq k_{0}.
    Vgl. Knut Sydsæter u.a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9, S. 504 f.
    Beachte, dass die Terminologie in der Literatur bisweilen davon abweicht. Vereinzelt wird statt (Unter-/Ober-)hemistetigkeit die Bezeichnung (Unter-/Ober-)halbstetigkeit verwendet (etwa Kreps 2012; Debreu 1959), was jedoch mit einer zwar verwandten, gleichwohl aber abweichenden Definition des Begriffs für reellwertige Funktionen kollidiert (vgl. zu dieser statt vieler Forster: Analysis. Teil 3. 5. Aufl. Springer, Berlin u.a. 2009, ISBN 978-3-8348-0704-5, S. 39 f.; Corbae/Stinchcombe/Zeman 2009, S. 349).
  11. Seien X und Y zwei metrische Räume. Definiere \mathbf{x}\rightarrow\!\!\!\!\!\!\!\mapsto\Gamma(\mathbf{x}) eine stetige, kompaktwertige und nichtleere Korrespondenz von X auf Y und sei u:X\times Y\rightarrow\mathbb{R} eine stetige Funktion. Dann ist
    \varphi(\mathbf{x})\equiv\sup\{u(\mathbf{x},\mathbf{y}\}|\mathbf{y}\in\Gamma(\mathbf{x})\}
    eine stetige Funktion und
    \mu(\mathbf{x})\equiv\{\mathbf{y}\in\Gamma(\mathbf{x})|u(\mathbf{x},\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{x})\}
    definiert eine nichtleere, kompaktwertige und oberhemistetige Korrespondenz. Vgl., auch zum Beweis, Corbae/Stinchcombe/Zeman 2009, S. 268 f.; Ok 2007, S. 306 ff.; James C. Moore: Mathematical methods for economic theory. Bd. 2. Springer, Berlin u.a. 1999, ISBN 3-540-66242-1, S. 280.
  12. Zum Beweis der Oberhemistetigkeit vgl. Ok 2007, S. 292 und Kreps 2012, S. 55 f.; zum Beweis der Unterhemistetigkeit vgl. Ok 2007, S. 299 und Kreps 2012, S. 56.
  13. Seien X und Y zwei metrische Räume. Man bezeichnet die Korrespondenz \Gamma:X\twoheadrightarrow Y als abgeschlossenwertig, wenn \Gamma(\mathbf{x}) für alle \mathbf{x}\in X eine abgeschlossene Teilmenge von Y ist. Vgl. Ok 2007, S. 289.
  14. Die Korrespondenz \Gamma:X\subseteq\mathbb{R}^{l}\twoheadrightarrow\mathbb{R}^{m} verfügt über einen abgeschlossenen Graphen, wenn an jeder Stelle \mathbf{x}^{0}\in X die folgende Implikation gilt: Seien \{\mathbf{x}_{k}\} und \{\mathbf{y}_{k}\} mit \mathbf{x}_{k}\rightarrow\mathbf{x}^{0} und \mathbf{y}_{k}\rightarrow\mathbf{y}^{0} beliebige Folgen und gelte \mathbf{y}_{k}\in\Gamma(\mathbf{x}_{k}) für alle k. Dann ist \mathbf{y}^{0}\in\Gamma(\mathbf{x}^{0}). Vgl. etwa Ok 2007, S. 294.
  15. Vgl., auch zum Beweis, Ok 2007, S. 295.
  16. Basierend auf Voorneveld 2009, S. 24; Charalambos D. Aliprantis: Problems in Equilibrium Theory. Springer, Berlin u.a. 1996, ISBN 3-540-60753-6, S. 39 f.
  17. Eine Präferenzordnung bezeichnet man als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges \mathbf{x}^0\in X und für jede \epsilon-Umgebung N_{\epsilon} um \mathbf{x}^0 ein \mathbf{x}'\in N_{\epsilon} existiert, mit dem \mathbf{x}'\succ\mathbf{x}^0. Vgl. der Artikel Präferenzordnung.
  18. Folgend etwa Knut Sydsæter u.a.: Further mathematics for economic analysis. 2. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9, S. 132, 135–138.
  19. Dazu und zum Folgenden Goldberger 1987, S. 3 ff.; William A. Barnett und Apostolos Serletis: The Differential Approach to Demand Analysis and the Rotterdam Model. In: Daniel J. Slottje (Hrsg.): Quantifying Consumer Preferences. Emerald, Bingley 2009, ISBN 978-1-84855-312-5, S. 61–81, hier S. 63 ff.
  20. Anton Barten: Theorie en Empirie van een Volledig Stelsel van Vraagvergelijkingen. Dissertation, Netherlands School of Economics, Rotterdam.
  21. Vgl. Goldberger 1987, S. 6.
  22. Donald W. Katzner: A Note on the Differentiability of Consumer Demand Functions. In: Econometrica. 36, Nr. 2, 1968, S. 415–418 (JSTOR).
  23. Vgl. Barten/Böhm 1982, S. 411.
  24. Vgl. Barten/Böhm 1982, S. 411; Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 95.
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