Martins Axiom

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Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweis- noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt.

Motivation[Bearbeiten]

Sei \langle P,\le_P\rangle eine Halbordnung und \mathcal{D} eine Menge von dichten Teilmengen von P. Gesucht ist ein Filter F auf P, der alle Elemente aus \mathcal{D} trifft, d.h. nichtleer schneidet (F heißt dann \mathcal{D}-generischer Filter). Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbares \mathcal{D} immer möglich ist, ein solches F zu finden. Für überabzählbares \mathcal{D} ist die Situation anders: Wenn

gibt es im Allgemeinen keine \mathcal{D}-generischen Filter.

Formulierung[Bearbeiten]

Martins Axiom (MA) ist die Aussage

„Für jede Halbordnung \langle P,\le_P\rangle, die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge \mathcal{D} dichter Teilmengen mit \left|\mathcal{D}\right|<2^{\aleph_0} gibt es einen \mathcal{D}-generischen Filter F.“

Gilt die Kontinuumshypothese, so ist jedes \mathcal{D} mit \left|\mathcal{D}\right|<2^{\aleph_0} notwendig abzählbar, also gilt trivialerweise MA. Es lassen sich aber auch Modelle von MA konstruieren, in denen die Kontinuumshypothese nicht gilt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
  • Martin, D. A.; Solovay, R. M. : Internal Cohen extensions, Ann. Math. Logic 2 (2) (1970): 143–178