Mathematik im Alten Ägypten

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Mathematik im Alten Ägypten bezieht sich auf die Geschichte und Anwendung der täglichen Berechnungsformeln.

Überblick[Bearbeiten]

Die früheren Annahmen, dass sich die altägyptische Mathematik erst sehr spät entwickelte, sind heute nicht mehr haltbar. Die häufig gebrauchte Begründung: Da es keine frühzeitlichen Aufzeichnungen gibt, wird die Entwicklung erst sehr spät begonnen haben wird in der Gegenwart fast gegensätzlich formuliert: Erstaunlich, dass die Ägypter ohne Aufzeichnungsmöglichkeiten dennoch komplizierte mathematische Berechnungen durchführen konnten.

Ohne mathematische Kenntnisse wäre der Pyramidenbau ab ca. 2650 v. Chr. nicht möglich gewesen. Die exakt berechneten Pyramiden sind ein deutliches Anzeichen für die weitreichenden mathematischen Kenntnisse im Alten Ägypten. Ägyptische Zahlen beruhten, wie römische Zahlen, auf einem additiven System, das für die Null kein eigenes Zeichen kannte. Neben Addition und Subtraktion waren auch Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen bekannt. Auch für die Multiplikation und Division haben die alten Ägypter Verfahren gekannt, wie Rechenaufgaben des Papyrus Rhind zeigen.

Gefundene Zahlen in Tempeln und auf Steindenkmälern geben wenig Einblick in die vorgenommenen Rechenarten. Gründe liegen in der umständlichen und mühsamen Schreibung von mathematischen Gleichungen auf nicht geeignetem Untergrund. Mit Einführung der Papyri erweitern sich die Befunde für mathematische Nachweise.

Quellen[Bearbeiten]

Das heutige Wissen über die altägyptische Mathematik ist hauptsächlich durch mathematische Papyri überliefert. Dabei handelt es sich um sehr ähnlich aufgebaute Übungs- oder Lehrbücher, die mathematische Grundregeln und praktische Übungsbeispiele für Schüler enthalten. Die Papyri sollten Schreibschüler auf die Bewältigung von praktischen Problemstellungen vorbereiten, die sie im späteren täglichen Arbeitsleben erwarteten.[1]

Die ältesten und bekanntesten der mathematischen Papyri stammen aus dem Mittleren Reich und der Zweiten Zwischenzeit:

Aus dem Neuen Reich und späterer Zeit stammen:

Zahlen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Ägyptische Zahlen

Die Ägypter verwendeten das Dezimalsystem, im Gegensatz zu den Babyloniern, die mit dem Sexagesimalsystem (Basis 60) rechneten. Sie hatten allerdings kein Positionssystem, sondern schrieben die Zahlzeichen additiv nebeneinander. Für die Zahl 1 zogen sie einen senkrechten Strich und bis zur Zahl 9 wurde der Strich neunmal geschrieben. Beim zehnfachen nahm man das nächsthöhere Zeichen und wendete dieselbe Methode nochmal an.

Für den praktischen Gebrauch wurden nicht mehr als sieben verschiedene Hieroglyphenzeichen benötigt, allerdings kannten die Ägypter kein Symbol für die Null.

Hieroglyphische Zahlzeichen
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11


Für die Bruchrechnung wurde eine eigene Schreibweise verwendet, die auf der Addition von Stammbrüchen beruhte. So wurde der Bruch \tfrac{4}{15} z. B. als \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{15} dargestellt. Die Bildung von ägyptischen Brüchen beruht auf drei einfachen Grundregeln:[2]

  1. Finden des größten Stammbruches, der in dem gegebenen Bruch enthalten ist.
  2. Bilden der Differenz dieser beiden Brüche.
  3. Solange Schritt 1 und 2 für die Differenz wiederholen, bis der Rest ein Stammbruch ist.
Die Darstellung der Stammbrüche erfolgte mit der Hieroglyphe
r
, die man über die entsprechende Zahl setzte. Für einige häufig gebrauchte Brüche wie \tfrac{2}{3} und \tfrac{3}{4} gab es als Ausnahme besondere Zeichen.
Besondere Zeichen für Brüche
\tfrac{1}{2} \tfrac{1}{3} \tfrac{2}{3} \tfrac{1}{4} \tfrac{3}{4}
Aa13
D21
Z1
D22
Z9
D23

Grundrechenarten[Bearbeiten]

Multiplikation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Ägyptisches Multiplizieren

Auch wenn das Verfahren für uns heute fremd ist, kannten die alten Ägypter eine Methode, um schriftlich zu multiplizieren. Sie nutzen dabei die Eigenschaft aus, dass jeder Multiplikator als Summe von 2er Potenzen dargestellt werden kann.[3]

Bsp. 13•12=156 rechneten die alten Ägypter wie folgt:

13 • 12       Unter den Multiplikator wird eine 1 geschrieben, 
 1   12 /     der Multiplikant unverändert daneben. Dann werden
 2   24       beide Zahlen sooft verdoppelt, bis der Multiplikator
 4   48 /     (in diesem Fall 13)zusammen addiert werden kann.
 8   96 /     (Hier: 8+4+1=13) Addiert man die rechten Zahlen derselben
+______       Zeilen so erhält man das Ergebnis(Hier: 12+48+96=156)
 13  156

Division[Bearbeiten]

Ganz ähnlich funktioniert auch die Division.[4]

Bsp. 143:11=13 Die alten Ägypter machten daraus folgende Aufgabe: Rechne mit 11 bis du 143 findest (→ Umgekehrte Multiplikation)

143 : 11       Unter den Dividend wird die 1 geschrieben, der 
  1   11 /     Divisor unverändert daneben.
  2   22       Diesmal muss jedoch sooft verdoppelt werden, bis auf der
  4   44 /     rechten Seite die Zahl des Dividenden zusammen addiert
  8   88 /     werden kann. (Hier: 11+44+88=143) Addiert man die linken
 +______       Zahlen der entsprechenden Zeilen, erhält man das Ergebnis.
 13  143       (Hier: 1+4+8=13)

Geometrie[Bearbeiten]

Durch die alljährlich sich wiederholende Nilschwemme und die dadurch verursachte Verwischung der Feldbegrenzungen durch den abgelagerten Nilschlamm waren die alten Ägypter zur Vermeidung endloser Bodeneigentums- und Bodennutzungsstreitigkeiten darauf angewiesen, planimetrische Berechnungen der Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen zu entwickeln. Sesostris I. entwarf das Modell des Nilometers.

Hinsichtlich der Erbauung von Grabpyramiden entwickelten sie im Laufe der Zeit die Berechnung der Grundfläche, des Mantels, des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs durch V=(a^2+ab+b^2) (h/3), und anderer Pyramidenkenngrößen einschließlich (16/9)² als Näherung der Kreiszahl π (pi) sowie einige pythagoreische Tripel. Die Kreiszahl (16/9)² wurde nur bei der Berechnung der Kreisfläche angewendet. Den Umfang berechnete man mit 3 E(llen) 1 H(andbreite). Zum Durchmesser 1 E gehört der Umfang 3E 1H.[5]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. 9. Auflage. Marixverlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-925037-64-0.
  •  Annette Imhausen: Ägyptische Algorithmen: Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten. Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9.
  •  Adel Kamel: Eine Glanzleistung – Mathematik im Alten Ägypten. In: Gabriele Höber-Kamel (Hrsg.): Kemet Heft 4/2000. Kemet-Verlag, Berlin 2000, ISSN 09435972, S. 31–37.
  •  Sybille Krämer: Symbolische Maschinen. Die Idee der Formalisierung in geschichtlichem Abriß. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-03207-1.
  •  Johannes Lehmann: So rechneten Ägypter und Babylonier. 4000 Jahre Mathematik in Aufgaben. Urania, Leipzig/ Jena/ Berlin 1994, ISBN 3-332-00522-7.
  •  Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik, 1: Vorgeschichte und Ägypten. Schöningh, Paderborn 1958.
  •  B. L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkhäuser, Basel 1966.
  •  Armin Wirsching: Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut. 2. Auflage. Books on Demand, Norderstedt 2009, ISBN 978-3-8370-2355-8.

Anmerkungen und Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Adel Kamel: Kemet Heft 4/2000, S. 31.
  2. Adel Kamel: Kemet Heft 4/2000, S. 32.
  3. Adel Kamel: Kemet Heft 4/2000, S. 33.
  4. Adel Kamel: Kemet Heft 4/2000, S. 33–34.
  5. Weil 1H = 1/7 E = 0,143 E ist, entspricht der Relation 1 ↔ π ägyptisch 1 ↔ 3,143. Beispiel Cheops-Pyramide: Basisumfang 4 × 230,36 = 921,44 m, Höhe 146,6 m → 921,44 / 293,2 = 3,143. Siehe hierzu Armin Wirsching, S. 15 ff. (Literaturangaben).