Mathematische Physik

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Die mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation oder ihre Anwendung in der (theoretischen) Physik haben. Von besonderer Bedeutung sind dabei einerseits die mathematisch rigorose Formulierung physikalischer Theorien und die Analyse zugrundeliegender mathematischer Strukturen, und andererseits die Anwendung mathematischer Lösungsmethoden und Strategien auf physikalische Fragestellungen. Weiterhin werden im Rahmen der mathematischen Physik Ideen aus der (zumeist theoretischen) Physik aufgegriffen, die dann als Motivation zur Erstellung neuer mathematischer Konzepte dienen. Aufgrund dieser Natur kann die mathematische Physik sowohl als Teilgebiet der Mathematik als auch der Physik angesehen werden.

Fragestellungen der mathematischen Physik[Bearbeiten]

Die mathematische Physik befasst sich mit der mathematisch strengen Behandlung von Modellen physikalischer Phänomene. Die Übergänge zur theoretischen Physik sind dabei fließend. Wichtige Teilgebiete der mathematischen Physik sind dabei:

Klassische Mechanik[Bearbeiten]

Hauptartikel: Klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik finden vor allem Methoden der Differentialgeometrie und der Theorie von Lie-Gruppen Verwendung. Konkret wird der Phasenraum eines physikalischen Systems durch eine symplektische- oder eine Poisson-Mannigfaltigkeit modelliert, auf der unter Umständen eine Lie-Gruppe wirkt. So können beispielsweise die Auswirkungen von Symmetrien und Zwangsbedingungen eingehend studiert werden. Ein weiteres Forschungsfeld ist die Stabilitätstheorie dynamischer Systeme, wie etwa unseres Sonnensystems.

Klassische Feldtheorien[Bearbeiten]

Hauptartikel: Klassische Feldtheorie

Zum Verständnis der verschiedenen klassischen Feldtheorien wie Elektro- und Hydrodynamik oder klassischen Yang-Mills-Theorien ist ein breites Spektrum an mathematischen Grundlagen, insbesondere aus der Theorie partieller Differentialgleichungen, der Variationsrechnung, Distributionentheorie, Fourieranalysis sowie der Hauptfaserbündel erforderlich. Aus diesem Gebiet stammen einige der wichtigsten ungelösten Fragen der Mathematik: Die Frage nach Existenz und Regularität von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen beispielsweise ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute.[1]

Allgemeine Relativitätstheorie[Bearbeiten]

Die allgemeine Relativitätstheorie basiert auf der Pseudo-riemannschen Geometrie. Neben der Lösungstheorie der Einsteinschen Feldgleichungen werden differentialtopologische Methoden und Singularitäten-Theoreme aus der Mathematik benutzt, um Aussagen über die globale Topologie des Universums oder schwarze Löcher zu erhalten.

Quantenphysik[Bearbeiten]

Hauptartikel: Quantenphysik

Die Quantenphysik erlaubt die Beschreibung der Natur auf atomaren Skalen. Ihre mathematische Formulierung nutzt unter anderem die Spektraltheorie von unbeschränkten Operatoren auf Hilberträumen, insbesondere von Schrödingeroperatoren. Weiterhin sind C*-Algebren und die Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren von zentraler Bedeutung. Die mathematische Physik beschäftigt sich weiterhin mit der mathematisch rigorosen Formulierung von axiomatischen Quantenfeldtheorien, wie der algebraischen Quantenfeldtheorie oder der konstruktiven Quantenfeldtheorie, sowie der Analyse verschiedener Quantisierungsmethoden, etwa in Bezug auf klassischen Limes oder Wohldefiniertheit.

Auch aus diesem Bereich stammt eines der Millennium-Probleme, nämlich der Beweis der Existenz einer Massenlücke in den quantisierten Versionen der Yang-Mills-Gleichungen.[2]

Statistische Physik[Bearbeiten]

Hauptartikel: Statistische Physik

Systeme vieler wechselwirkender Teilchen werden durch die statistische Physik beschrieben. Zentrale Fragestellungen sind Existenz und Eigenschaften von Phasenübergängen, Symmetriebrechung und, für Systeme endlicher Teilchenzahl, eines thermodynamischen Limes. Einige hier relevante Teilgebiete der Mathematik sind die Theorie stochastischer Prozesse oder Zufallsmatrizen.

Ansätze für neue physikalische Theorien[Bearbeiten]

Die mathematische Physik beschäftigt sich aber nicht nur mit der mathematischen Untersuchung bereits existierender physikalischer Modelle. Vielmehr ist auch die Suche nach neuen Theorien - beispielsweise eine quantenphysikalische Beschreibung der Gravitation - ein wichtiges Arbeitsgebiet, da hier sowohl physikalisches Wissen als auch mathematische Methoden nötig sind. Einige prominente Ansätze sind hier die Stringtheorie, Schleifenquantengravitation, Nicht-kommutative Geometrie oder die topologische Quantenfeldtheorie.

Einige Forschungsbereiche und Vereinigungen[Bearbeiten]

Die internationale Organisation für mathematische Physik ist die International Association of Mathematical Physics (IAMP), die alle drei Jahre internationale Kongresse veranstaltet.

In Deutschland widmet sich das Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig einigen Aspekten der Mathematischen Physik. In Wien gibt es das Erwin-Schrödinger-Institut für mathematische Physik auf Initiative von Walter Thirring, der in Wien eine starke Schule mathematischer Physik aufbaute. In Paris hat das Institut Henri Poincaré traditionell einen Schwerpunkt in mathematischer Physik.

Die deutsche DMV-Fachgruppe „Mathematische Physik“ nennt es als Ziel, offen zu sein für alle Mathematiker/innen, die an der mathematischen Behandlung von physikalisch motivierten Fragestellungen interessiert sind. Sie fördert den Kontakt zwischen den mathematischen Physikern in Deutschland (Tagungen, Fachliteratur, Mailing-Liste).

Analoge mathematische Fachgruppen gibt es in anderen Ländern, bzw. auch im Rahmen der Physik. Die Kooperation DMV - Deutsche Physikalische Gesellschaft soll vertieft werden, um nicht in Konkurrenz der zwei Fachgebiete zu geraten.

Speziell für Leistungen in mathematischer Physik werden der Dannie-Heineman-Preis und der Henri-Poincaré-Preis der IAMP verliehen.

Studium[Bearbeiten]

Ein Studium der mathematischen Physik ist in Deutschland derzeit (Stand 2014) an folgenden Universitäten möglich:

Diese Studiengänge beinhalten sowohl Lehrveranstaltungen aus der theoretischen Physik als auch der Mathematik und werden daher in der Regel in Kooperation der Fakultäten für Physik und Mathematik angeboten. Der Fokus liegt hierbei auf dem Wechselspiel beider Disziplinen, wobei der thematische Schwerpunkt allerdings, insbesondere in den Masterstudiengängen, von Universität zu Universität variieren kann. Absolventen dieser Studiengänge sollen idealerweise die Fähigkeit erworben haben moderne mathematische Konzepte und Strukturen effektiv auf Problemstellungen der theoretischen Physik anzuwenden, was in der Praxis einen Einstieg in aktuelle Forschungsthemen beider Bereiche ermöglicht.

Von der eigentlichen mathematischen Physik zu unterscheiden sind die an vielen Hochschulen angebotenen Lehrveranstaltungen und Lehrgänge für Mathematische Methoden der Physik, die den Physikern das notwendige mathematische Grundlagenwissen beibringen sollen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf einer möglichst breiten und anwendungsbezogenen, speziell auf die Bedürfnisse der Physik zugeschnittenen Darstellung mathematischer Methoden und weniger auf Beweistechniken oder Beweisen von mathematischen Sätzen wie in den reinen Mathematik-Vorlesungen. Wichtige Schwerpunkte sind dabei die Themenkreise Vektorräume und Vektoralgebra, einfache Tensorrechnung (Lineare Algebra), Vektoranalysis und Potentialtheorie, Funktionentheorie (Residuensatz), spezielle Funktionen (Kugelfunktionen, Legendre-Polynome usw.), gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourieranalyse und Wahrscheinlichkeitstheorie inklusive stochastischer Prozesse.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Clay Mathematics Institute, Milleniumsprobleme: Navier-Stokes-Gleichung
  2. Clay Mathematics Institute, Milleniumsprobleme: Yang-Mills und Massenlücke