Mathieusche Differentialgleichung

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Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion

 q(x) = q_o + \Delta q \cdot \cos(x)

Normalform[Bearbeiten]

Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete Gleichung [1] hat die Gestalt

\ y''(x)+[\lambda + \gamma\cos(x) ] \cdot y(x)=0.

Ist x eine Funktion der Zeit

 x = \Omega \cdot t

so stehen die Abkürzungen  \lambda und  \gamma für

 \lambda = q_0/\Omega^2; \gamma = \Delta q / \Omega^2

Alternative Darstellung[Bearbeiten]

Die DGL wird auch, unter Anderem, folgendermaßen angegeben [2] [3]

\ y''(x)+[a-2q\cos (2x) ] \cdot y(x)=0.
\ \ddot x(t) + \omega_0^2[1 + h \cos(\Omega t)] \cdot x(t) = 0

Lösungseigenschaften[Bearbeiten]

Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:


\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\lambda + \gamma \cos(x) & 0 \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
u(x) \\
v(x) \\
\end{pmatrix}

= 

\begin{pmatrix}
u(x) \\
v(x) \\
\end{pmatrix}'

Die Koeffizientenmatrix ist hier 2\pi-periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als


\Phi(x) = P(x)\exp(xR)

Dabei ist R \in \mathbb{C}^{2 \times 2} und P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C}) ebenfalls 2\pi-periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix R ergeben sich zwei Fälle:

  1. R hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte \gamma_1 \neq \gamma_2: In diesem Fall sind die Lösungen von der Form e^{\gamma_{1} x} \phi_{1}(x) und  e^{\gamma_{2} x} \phi_{2}(x), wobei \phi_1, \phi_2 jeweils 2\pi-periodisch sind.
  2. R hat einen einzigen Eigenwert \gamma: Hier sind die Lösungen von der Gestalt e^{\gamma x} \phi(x) und  x e^{\gamma x} \phi(x) mit einer 2\pi-periodischen Funktion \phi.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)
  3. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.

Weblinks[Bearbeiten]