Matrix (Mathematik)

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Schema für eine allgemeine m×n-Matrix

In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen meist mathematischer Objekte, etwa Zahlen. Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert. Matrizen können beliebige Dimensionalität besitzen.

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen.

Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt.

Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von m \cdot n Elementen  a_{ij}\, erfolgt in m \, Zeilen und n \, Spalten.

Begriffe und erste Eigenschaften[Bearbeiten]

Notation[Bearbeiten]

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen einer großen öffnenden und einer schließenden Klammer durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, es werden aber auch eckige verwendet. Zum Beispiel bezeichnen


  \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{pmatrix} 
und 
  \begin{bmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
    a_{21} & a_{22} & a_{23} 
  \end{bmatrix}

eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. Die Matrix an sich wird durch (manchmal fettgedruckte bzw. handschriftlich gelegentlich einfach oder doppelt unterstrichene) Großbuchstaben, vorzugsweise A, bezeichnet. Eine allgemeine Matrix mit m Zeilen und n Spalten könnte so aussehen:

A=\mathbf{A}=\underline{A}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix} = (a_{ij})

Elemente der Matrix[Bearbeiten]

Die Elemente der Matrix nennt man auch Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge K, in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über K.

Wählt man für K die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix, bei komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch a_{11} beschrieben. Allgemein bezeichnet a_{ij} das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Deshalb wird die gesamte Matrix manchmal mit ( a_{ij} ) bezeichnet. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, werden die beiden Indizes mit einem Komma abgetrennt. So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit a_{1,11} bezeichnet.

Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, hier sind \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{pmatrix} die Spalten bzw. Spaltenvektoren und \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} die Zeilen bzw. Zeilenvektoren.

Typ[Bearbeiten]

Der Typ einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man eine m \times  n-Matrix (sprich: „m mal n“- oder „m Kreuz n“-Matrix). Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Eine Matrix, die aus nur einer Spalte oder nur einer Zeile besteht, wird üblicherweise als Vektor aufgefasst. Einen Vektor mit n Elementen kann man je nach Kontext als einspaltige n \times 1-Matrix oder einzeilige 1 \times n-Matrix darstellen. Neben den Begriffen Spaltenvektor und Zeilenvektor sind hierfür auch die Begriffe Spaltenmatrix und Zeilenmatrix geläufig. Eine 1 \times 1-Matrix ist sowohl Spalten- als auch Zeilenmatrix und wird als Skalar angesehen.

Formale Darstellung[Bearbeiten]

Eine Matrix ist eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

A: \{1,\ldots,m\}\times\{1,\dots,n\} \to K,\quad (i,j) \mapsto a_{ij},

die jedem Indexpaar (i,j) als Funktionswert den Eintrag a_{ij} zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar (1,2) als Funktionswert der Eintrag a_{12} zugeordnet. Der Funktionswert a_{ij} ist also der Eintrag in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Die Variablen m und n entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge \operatorname{Abb}\left(\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,n\},K\right) aller m \times  n-Matrizen über der Menge K wird in üblicher mathematischer Notation auch K^{\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots n\}} geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation K^{m\times n} eingebürgert. Manchmal werden auch die Schreibweisen K^{m,n}, M(m \times n, K) oder seltener \,^m K^n benutzt.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten]

Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert.

Matrizenaddition[Bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier m \times n-Matrizen berechnet sich, indem man jeweils die Einträge der beiden Matrizen addiert:

A+B := (a_{ij}+b_{ij})_{i=1 , \ldots , m; \ j=1 , \ldots , n}

Rechenbeispiel:


  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 & 2 & 7
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    0 & 3 & 5 \\
    2 & 1 & -1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1+0 & -3+3 & 2+5 \\
    1+2 & 2+1 & 7+(-1)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 7 \\
    3 & 3 & 6
  \end{pmatrix}

In der linearen Algebra sind die Einträge der Matrizen üblicherweise Elemente eines Körpers, wie z. B. der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Einträge Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.

Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Skalarmultiplikation

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem alle Einträge der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden:

\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

Rechenbeispiel:

5 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & -3 & 2 \\
    1 &  2 & 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
   5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
   5 \cdot 1 & 5 \cdot   2  & 5 \cdot 7
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    5 & -15 & 10 \\
    5 & 10  & 35
  \end{pmatrix}

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar \lambda (Lambda) und die Einträge der Matrix demselben Ring (K,+,\cdot,0) entstammen. Die Menge der m \times n-Matrizen ist in diesem Fall ein (Links-) Modul über K.

Matrizenmultiplikation[Bearbeiten]

Hauptartikel: Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Das Produkt einer l \times m-Matrix A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m} und einer m \times n-Matrix B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n} ist eine l \times n-Matrix C = (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}, deren Einträge berechnet werden, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:

 c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d. h. im Allgemeinen gilt B \cdot A \neq A \cdot B. Die Matrizenmultiplikation ist allerdings assoziativ:

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)

Eine Kette von Matrix-Multiplikationen kann daher unterschiedlich geklammert werden. Das Problem, eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem. Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:

(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C

für alle l \times m-Matrizen A,B und m \times n-Matrizen C sowie

A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C

für alle l \times m-Matrizen A und m \times n-Matrizen B, C.

Quadratische Matrizen A\in K^{n\times n} können mit sich selbst multipliziert werden, analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz A^2=A\cdot A oder A^3=A\cdot A\cdot A etc. ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynome einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden. Quadratische Matrizen über \R oder \mathbb C kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential. Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring R, also R^{n \times n}. Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring, der Matrizenring genannt wird.

Weitere Rechenoperationen[Bearbeiten]

Die transponierte Matrix[Bearbeiten]

Animation zur Transponierung der Matrix A

Die Transponierte einer m\times n-Matrix A = \left(a_{ij}\right) ist die n\times m-Matrix A^T = \left(a_{ji}\right), das heißt zu


  A=
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots &a_{1n} \\
    \vdots &\ddots &\vdots \\
    a_{m1} & \dots &a_{mn}
  \end{pmatrix}

ist


  A^T =
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots &a_{m1} \\
    \vdots &\ddots &\vdots \\
    a_{1n} & \dots &a_{mn}
  \end{pmatrix}

die Transponierte. Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte, die zweite Zeile als zweite Spalte usw. Die Matrix wird sozusagen an ihrer Hauptdiagonale a_{11}, a_{22},\dots „gespiegelt“.

Beispiel:


  \begin{pmatrix}
    1 & 8  & -3\\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}^T
  =
  \begin{pmatrix}
    1 &  4\\
    8 & -2\\
   -3 &  5
  \end{pmatrix}

Es gelten die folgenden Rechenregeln:

\begin{align}
  (A+B)^T               &= A^T + B^T\\
  (c \cdot A)^T         &= c \cdot A^T\\
  \left(A^T\right)^T    &= A\\
  (A \cdot B)^T         &= B^T \cdot A^T\\
  \left(A^{-1}\right)^T &= \left(A^T\right)^{-1}
\end{align}

Die transponierte Matrix wird gelegentlich auch gestürzte Matrix genannt.

Bei Matrizen über \R ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.

Inverse Matrix[Bearbeiten]

Hauptartikel: Inverse Matrix

Falls die Determinante einer quadratischen n\times  n-Matrix A über einem Körper K nicht gleich Null ist, d. h. für \det(A) \neq 0, existiert die zur Matrix A inverse Matrix A^{-1}, für die

A  A^{-1} = A^{-1}  A = E

gilt, wobei E die n\times  n-Einheitsmatrix ist. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Umgekehrt werden nichtinvertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet.

Vektor-Vektor-Produkte[Bearbeiten]

Das Matrixprodukt v \cdot w zweier n \times 1-Vektoren v und w ist nicht definiert, da die Anzahl 1 der Spalten von v im Allgemeinen ungleich der Anzahl n der Zeilen von w ist. Die beiden Produkte v^T \cdot w und v \cdot w^T existieren jedoch.

Das erste Produkt v^T \cdot w ist eine 1 \times 1-Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das Standardskalarprodukt von v und w genannt und mit \langle v, w \rangle oder \vec v \cdot \vec w bezeichnet. Geometrisch entspricht dieses Skalarprodukt in einem kartesischen Koordinatensystem dem Produkt

\vec v \cdot \vec w = |\vec v| \cdot |\vec w| \cdot \cos \sphericalangle(\vec v, \vec w)

der Beträge der beiden Vektoren und des Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt


  \begin{pmatrix}
     1 \\
     2 \\
     3
  \end{pmatrix}^T
  \cdot
  \begin{pmatrix}
     -2\\
     -1\\
      1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 &
     2 &
     3
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
     -2\\
     -1\\
      1
  \end{pmatrix}
  =
  1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1
  =
  -1

Das zweite Produkt v \cdot w^T ist eine n \times n-Matrix und heißt dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von v und w (geschrieben v \otimes w). Seine Spalten sind skalare Vielfache von v, seine Zeilen skalare Vielfache von w^T. Beispielsweise gilt


  \begin{pmatrix}
     1 \\
     2 \\
     3
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
     -2\\
     -1\\
      1
  \end{pmatrix}^T
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \\
     2 \\
     3
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
     -2&
     -1&
      1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1\cdot(-2) & 1\cdot(-1) & 1\cdot 1 \\
    2\cdot(-2) & 2\cdot(-1) & 2\cdot 1 \\
    3\cdot(-2) & 3\cdot(-1) & 3\cdot 1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    -2 & -1 & 1 \\
    -4 & -2 & 2 \\
    -6 & -3 & 3
  \end{pmatrix}

Vektorräume von Matrizen[Bearbeiten]

Die Menge der m \times n-Matrizen über einem kommutativen Ring R mit 1 bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen R-Modul. Die Spur des Matrixprodukts A^T \cdot B

\left\langle A,B\right\rangle = \operatorname{spur}(A^TB)
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_{ij}b_{ij}

ist dann im Spezialfall K=\R ein reelles Skalarprodukt. Bei diesem Matrizenraum handelt es sich um einen euklidischen Vektorraum. In diesem Raum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist A eine symmetrische und B eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt \begin{matrix}\left\langle A,B\right\rangle=0\end{matrix}.

Im Spezialfall K=\mathbb C ist die Spur des Matrixproduktes \overline{A}^T \cdot B

\left\langle A,B\right\rangle = \operatorname{spur}(\overline{A^T}B)
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \overline{a_{ij}}b_{ij}

ein komplexes Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum. Dieses Skalarprodukt wird auch Frobenius-Skalarprodukt genannt. Die von dem Frobenius-Skalarprodukt induzierte Norm heißt Frobeniusnorm und mit ihr wird der Matrizenraum zu einem Banachraum.

Anwendungen[Bearbeiten]

Zusammenhang mit linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Das Besondere an Matrizen über einem Ring K ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix A \in K^{m\times n} lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich K^n (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich K^m definieren, indem man jeden Spaltenvektor u\in K^n auf A\cdot u\in K^m abbildet. Umgekehrt entspricht jeder linearen Abbildung f \colon K^n \to K^m auf diese Weise genau eine m \times  n-Matrix A; dabei sind die Spalten von A die Bilder der Standard-Basisvektoren e_1,\dotsc,e_n von K^n unter f. Diesen Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus

\operatorname{Hom}_K(K^n,K^m)\simeq K^{m \times n}.

Er stellt bei vorgegebenem K, m und n eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies dann auch für die Matrixmultiplikation, diese ist also assoziativ.

Ist K sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale K-Vektorräume V und W (der Dimension n bzw. m) betrachten. (Falls K ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen v=(v_1,\ldots,v_n) von V und w=(w_1,\ldots,w_m) von W zu den Koordinatenräumen K^n bzw. K^m isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor u\in V eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren

u = \sum_{j=1}^n \alpha_j v_j

existiert und die darin vorkommenden Körperelemente \alpha_j den Koordinatenvektor

{}_vu=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} \in K^n

bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis v ab, die daher auch in der Bezeichnung {}_vu vorkommt.

Analog verhält es sich im Vektorraum W. Ist eine lineare Abbildung f\colon V\to W gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von V eindeutig in die Basisvektoren von W zerlegen in der Form

f(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}w_i

mit Koordinatenvektor

{}_wf(v_j)=\begin{pmatrix}a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj}\end{pmatrix} \in K^m.

Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix

{}_wf_v = \begin{pmatrix}
  a_{11} & \ldots & a_{1n} \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix} \in K^{m\times n},

denn für das Bild des o. g. Vektors u gilt

f(u) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}\alpha_j w_i,

also {}_wf(u) = {}_wf_v\cdot {}_vu („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix {}_wf_v hängt von den verwendeten Basen v und w ab; bei der Multiplikation wird die Basis v, die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis w bleibt übrig.)

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen f\colon V\to W und g\colon W\to X (mit Basen v, w bzw. x) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also

{}_x(g\circ f)_v = {}_xg_w \cdot {}_wf_v

(auch hier wird die Basis w „weggekürzt“).

Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von V nach W wieder isomorph zu K^{m\times n}. Der Isomorphismus f \mapsto {}_wf_v hängt aber von den gewählten Basen v und w ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis v' für V bzw. w' für W wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren m \times m- bzw. n \times n-Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich

{}_{w'}f_{v'} = {}_{w'}e^W_w \cdot {}_wf_v \cdot {}_ve^V_{v'}

(„Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen e^V und e^W jeden Vektor aus V bzw. W auf sich selbst ab.

Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft auch basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls K ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall V=W entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind:

{}_{v'}f_{v'} = ({}_ve^V_{v'})^{-1} \cdot {}_vf_v \cdot {}_ve^V_{v'}.

In diesem Sinne ist also auch die Determinante basisunabhängig.

Umformen von Matrizengleichungen[Bearbeiten]

Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor x eines linearen Gleichungssystems

A \cdot x=b

mit A als n \times n-Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix A^{-1} existiert, kann man mit ihr von links multiplizieren:

A^{-1} \cdot A \cdot x=A^{-1} \cdot b \Leftrightarrow  E \cdot x=A^{-1} \cdot b,

und man erhält als Lösung

x=A^{-1} \cdot b.

Spezielle Matrizen[Bearbeiten]

Eigenschaften von Endomorphismen[Bearbeiten]

Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden.

Orthogonale Matrizen
Eine reelle Matrix A ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standardskalarprodukt erhält, das heißt, wenn
\langle Av,Aw\rangle = \langle v,w\rangle
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass A die Gleichung
A^{-1} = A^T
bzw.
A\,A^T = E
erfüllt.
Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar.
Unitäre Matrizen
Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix A ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt, wenn
\langle Av,Aw\rangle = \langle v,w\rangle
gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass A die Gleichung
A^{-1} = A^*
erfüllt; dabei bezeichnet A^* die konjugiert-transponierte Matrix zu A.
Fasst man den n-dimensionalen komplexen Vektorraum als 2n-dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit \mathrm i vertauschen.
Projektionsmatrizen
Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls
A = A^2
gilt, sie also idempotent ist, das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix. Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix. Steht der Nullraum senkrecht auf dem Bildraum, so erhält man eine Orthogonalprojektion.
Beispiel: Es sei X eine (m\times n)-Matrix und damit selbst nicht invertierbar, dann ist die (m\times m)-Matrix
A = X \, (X^TX)^{-1}X^T
idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet.
Nilpotente Matrizen
Eine Matrix N heißt nilpotent, falls eine Potenz N^k (und damit auch jede höhere Potenz) die Nullmatrix ergibt.

Eigenschaften von Bilinearformen[Bearbeiten]

Im Folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform

(v,w)\mapsto v^T A w

entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften auch für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen.

Symmetrische Matrizen 
Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist:
A^T = A
Anschaulich gesprochen sind die Einträge symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Beispiel:

  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    2 & 4 & 5 \\
    3 & 5 & 6
  \end{pmatrix}^T
  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    2 & 4 & 5 \\
    3 & 5 & 6
  \end{pmatrix}
Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen:
v^T A w=w^T A v,
andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen:
\langle Av,w\rangle = \langle v,Aw\rangle.
Hermitesche Matrizen
Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen.
Eine Matrix A\in\mathbb C^{n\times n} ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt:
A = A^*.
Schiefsymmetrische Matrizen
Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch oder auch antisymmetrisch, wenn gilt:
-A^T = A.
Um diese Bedingung zu erfüllen, müssen alle Einträge der Hauptdiagonale den Wert Null haben; die restlichen Werte werden an der Hauptdiagonale gespiegelt und mit -1 multipliziert.
Beispiel:

  \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 2 \\
    -1 & 0 & 3 \\
    -2 & -3 & 0
  \end{pmatrix}
Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen:
v^T\cdot A\cdot w = -w^T\cdot A\cdot v
und antiselbstadjungierten Endomorphismen:
\langle Av,w\rangle = -\langle v,Aw\rangle.
Positiv definite Matrizen
Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren v\ne0 gilt:
v^T\cdot A\cdot v > 0.
Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Hat die Bilinearform keine negativen Werte, heißt die Matrix positiv semidefinit. Analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise negativ semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform nur negative beziehungsweise keine positiven Werte hat. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit.

Weitere Konstruktionen[Bearbeiten]

Konjugierte und adjungierte Matrix

Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix A wird mit A^* bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden.

Adjunkte oder komplementäre Matrix

Die komplementäre Matrix \operatorname{adj}(A) einer quadratischen Matrix A setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante auch Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten \det(A_{ij}) werden die i-te Zeile und j-te Spalte von A gestrichen. Aus der resultierenden (n-1) \times (n-1)-Matrix wird dann die Determinante \det (A_{ij}) berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Einträge (-1)^{i+j}\det (A_{ji}). Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet.

Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix A, denn nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gilt
\operatorname{adj}(A)\cdot A=A\cdot \operatorname{adj}(A)=\det(A)\cdot E_n.
Damit ist die Inverse A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot \operatorname{adj}(A), wenn \det(A) \neq 0.
Übergangs- oder stochastische Matrizen

Eine Übergangs- oder stochastische Matrix ist eine Matrix, deren Einträge alle zwischen 0 und 1 liegen und deren Zeilen bzw. Spaltensummen 1 ergeben. Sie dienen in der Stochastik zur Charakterisierung zeitlich diskreter Markovketten mit endlichem Zustandsraum. Ein Spezialfall hiervon sind die doppelt-stochastischen Matrizen.

Unendlichdimensionale Räume[Bearbeiten]

Auch für unendlichdimensionale Vektorräume (sogar über Schiefkörpern) gilt, dass jede lineare Abbildung f\colon U\to V eindeutig durch die Bilder f(u) der Elemente u einer Basis \mathcal{B}_U\subset U bestimmt ist und diese beliebig gewählt werden und zu einer linearen Abbildung auf ganz U fortgesetzt werden können. Ist nun \mathcal{B}_V eine Basis von V, so lässt sich f(u) eindeutig als (endliche) Linearkombination von Basisvektoren schreiben, d. h. es existieren eindeutige Koeffizienten f(u)_b\in K für b\in\mathcal{B}_V, von denen nur endlich viele von null verschieden sind, sodass f(u)=\sum_{b\in\mathcal{B}_V}f(u)_b b. Dementsprechend lässt sich jede lineare Abbildung als möglicherweise unendliche Matrix auffassen, wobei jedoch in jeder Spalte (\mathcal{B}_U „nummeriere“ die Spalten und die Spalte zu u bestehe dann aus den von den Elementen von \mathcal{B}_V nummerierten Koordinaten f(u)_b) nur endlich viele Einträge von null verschieden sind, und umgekehrt. Die entsprechend definierte Matrixmultiplikation entspricht wiederum der Komposition linearer Abbildungen.

In der Funktionalanalysis betrachtet man topologische Vektorräume, d. h. Vektorräume, auf denen man von Konvergenz sprechen kann und dementsprechend auch unendliche Summen bilden kann. Auf solchen können dementsprechend auch Matrizen mit unendlich vielen von null verschiedenen Einträgen in einer Spalte unter Umständen als lineare Abbildungen verstanden werden, wobei dabei auch andere Basis-Begriffe zugrunde liegen.

Einen speziellen Fall bilden Hilberträume. Seien also U, V Hilberträume und (u_i)_{i\in I}, (v_i)_{i\in I} Orthonormalbasen von U bzw. V. Dann erhält man eine Matrixdarstellung eines linearen Operators f\colon U\to V (für lediglich dicht definierte Operatoren funktioniert es ebenso, falls der Definitionsbereich eine Orthonormalbasis besitzt, was im abzählbardimensionalen Fall stets zutrifft), indem man die Matrixelemente f_{i,k} :=\langle u_i, f u_k\rangle definiert; dabei ist \langle u,v\rangle das Skalarprodukt im betrachtete Hilbertraum (im komplexen Fall semilinear im ersten Argument).

Dieses sogenannte Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt lässt sich im unendlichdimensionalen Fall nur noch für eine bestimmte Teilklasse von linearen Operatoren, die sogenannten Hilbert-Schmidt-Operatoren, definieren, bei denen die Reihe, über die dieses Skalarprodukt definiert ist, stets konvergiert.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Matrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Matrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Matrizen-Rechner - Rechner, der Rechenoperationen für Matrizen mit konkreten Zahlenwerten, aber auch mit Variablen durchführt
  • The Matrix Cookbook – Eine englischsprachige, umfangreiche Matrix-Formelsammlung (PDF; 522 kB)