Maurer-Cartan-Form

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Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Definition[Bearbeiten]

Sei G eine Lie-Gruppe, \mathfrak g=T_eG ihre Lie-Algebra. Für g\in G induziert die Links-Multiplikation

L_{g^{-1}}:G\rightarrow G
L_{g^{-1}}(h):= g^{-1}h

das Differential

(DL_{g^{-1}})_g:T_gG\rightarrow T_eG=\mathfrak g.

Die Maurer-Cartan-Form \omega\in\Omega^1(G,\mathfrak g) ist definiert durch

\omega(v):=(DL_{g^{-1}})_g(v)

für v\in T_gG,g\in G.[1]

Maurer-Cartan-Gleichung[Bearbeiten]

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

d\omega+\frac{1}{2}\left[\omega,\omega\right]=0.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

[\omega\wedge\eta](v_1,v_2) = [\omega(v_1),\eta(v_2)] - [\omega(v_2),\eta(v_1)]

und die äußere Ableitung d\omega durch

d\omega(X,Y)=X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])

definiert.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form.