Maximumprinzip (Mathematik)

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In der Analysis ist ein Maximumprinzip ein Satz über gewisse Klassen partieller Differentialgleichungen, der Funktionswerte der Lösung im Innern gegen die Funktionswerte der Lösung auf dem Rand des betrachteten Gebietes (kurz: Randwerte) abschätzt.

Maximumsprinzip: Nimmt eine harmonische Funktion u im Innern ihres zusammenhängenden Definitionsbereiches G ein Maximum an, so ist u konstant. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass eine nicht-konstante harmonische Funktion u mit Definitionsgebiet G ihr Maximum bzw. Minimum auf dem Rand von G annimmt. Der Beweis benutzt den Satz von der Gebietstreue für das Bild von G, der für harmonische Funktionen gelten muss. Dieses wäre kein Gebiet mehr, wenn das Maximum im Inneren von G angenommen wird, da in diesem Fall der Maximalwert auf den Rand des Bildes von G abgebildet wird.

Dadurch hat man die folgenden Vorteile:

• Gilt das Maximumprinzip auch für die Differenz zweier Lösungen, so folgt sofort die Eindeutigkeit.
• Man kann gegebenenfalls Lösungen zu stetigen Dirichlet-Randbedingungen durch Lösungen zu differenzierbaren Dirichlet-Randbedingungen approximieren.
• Die Lösung ist stabil gegenüber kleinen Änderungen von Dirichlet-Randbedingungen.

[Bearbeiten] Beispiele

Grundsätzlich gilt das Maximumprinzip:

• für holomorphe Funktionen,
• für harmonische Funktionen bzw. noch allgemeiner für alle Lösungen gleichmäßig elliptischer linearer Differentialoperatoren,
• für gewisse Klassen parabolischer Differentialoperatoren (z.B. die Wärmeleitungsgleichung),
• für nicht-lineare elliptische Systeme mit quadratischem Wachstum im Gradienten unter Annahme einer Kleinheitsbedingung.

[Bearbeiten] Literatur

• Erhard Heinz: Partielle Differentialgleichungen, Vorlesung an der Georg-August-Universität Göttingen 1973.
• D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Grundlehren der math. Wiss. Bd 224, Springer.
• I.N. Vekua: Verallgemeinerte analytische Funktionen, Akademie Verlag, 1963
• Friedrich Sauvigny: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik, Springer, 2004-05 (2 Bände)
• M. H. Protter, H. F. Weinberger: Maximum principles in differential equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1967.