Maxwell-Jüttner-Verteilung

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Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Thermodynamik. Sie beschreibt die Geschwindigkeitsverteilung eines idealen Gases mit relativistischen Teilchengeschwindigkeiten. Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Im Gegensatz zur letzteren berücksichtigt sie die Effekte der spezielle Relativitätstheorie.[1][2]

Vergleichbar der Maxwell-Boltzmann-Verteilung setzt die Maxwell-Jüttner-Verteilung ein klassisches, ideales Gas voraus. Ähnlich wie beim idealen Gas werden eine ideale Verdünnung und die Abwesenheit Kräften zwischen den Gaspartikeln vorausgesetzt. Im Grenzfall niedriger Temperaturen, wo T wesentlich kleiner als mc2/k ist, geht die Maxwell-Jüttner-Verteilung in die klassische Maxwell-Boltzmann-Verteilung über (m ist die Masse eines Gasteilchen, c die Lichtgeschwindigkeit und k ist die Boltzmann-Konstante).

Namensgebung[Bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion wurde erstmals von Ferencz Jüttner (1878–1958) im Jahre 1911 hergeleitet.[1][2] Da sie eine Verallgemeinerung der von James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann gefundenen Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist, wird sie daher als Maxwell-Jüttner-Verteilung bezeichnet.

Die Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Maxwell-Jüttner-Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit von der relativistischen Geschwindigkeit für verschiedene Temperaturen.

Wenn ein Gas so heiß wird, dass seine thermische Energie kT in den Bereich mc2 oder ihn überschreitet, so kann seine relativistische maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung mit

 f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)}
\exp
\left(
- \frac {\gamma}{\theta}
\right)

beschrieben werden.[3] In dieser Gleichung bedeutet

\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}

die Partikelgeschwindigkeit in relativistischen Einheiten (Lorentzfaktor) und

\beta = \frac {v}{c}=\sqrt{1-1/\gamma^2},

\theta=\frac{kT}{mc^2}.

K_2 ist die modifizierte Besselfunktion zweiter Art.

Alternativ zur Geschwindigkeitsverteilung kann auch die Impulsverteilung angegeben werden:

 f(p) = \frac{1}{4 \pi m^3 c^3 \theta K_2(1/\theta)} \exp\left( -\frac{\gamma(p)}{\theta}\right)

mit \gamma(p) = \sqrt{1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2}.

Die Maxwell-Jüttner-Verteilung ist kovariant, aber nicht manifest kovariant (vgl. Minkowski-Raum). Aus diesem Grund variiert die Temperatur nicht mit der mittleren Bruttogeschwindigkeit der Gaspartikel.[4][5]

Randbedingungen[Bearbeiten]

Grundsätzlich besitzt die Maxwell-Jüttner-Verteilung die gleichen Randbedingungen, wie die Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

  • Es wird ein ideales Gas vorausgesetzt.
  • Wechselwirkungen zwischen den Gaspartikeln werden vernachlässigt.
  • Quanteneffekte werden vernachlässigt.

Neben diesen Bedingungen müssen für die Maxwell-Jüttner-Verteilung noch folgende Randbedingungen eingehalten werden:

Die Paarbildung muss berücksichtigt werden, wenn die kinetische Partikelenergie kT in die Größenordnung von mc2 gelangt. Da die Anzahl der Gaspartikel keine Erhaltungsgröße ist, kann sie somit beliebig ansteigen. Aus Symmetriegründen muss lediglich die Anzahl der neu gebildeten Teilchen zu ihren Antiteilchen erhalten bleiben. Die so neu erhaltene Verteilungsfunktion beinhaltet als neue Größe das chemische Potential der entsprechenden Paarbildung.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Ferencz Jüttner: Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. 340, Nr. 6, 1911, S. 145–161, doi:10.1002/andp.19113400608.
  2. a b  Ferencz Jüttner: Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie. In: Annalen der Physik. 339, Nr. 5, 1911, S. 856–882, doi:10.1002/andp.19113390503.
  3.  John Lighton Synge: The relativistic gas. North-Holland publishing company, Amsterdam 1957.
  4.  Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: On the Manifestly Covariant Jüttner Distribution and Equipartition Theorem. In: arXiv. 2009, arXiv:0910.1625.
  5.  Guillermo Chacón-Acosta, Leonardo Dagdug, Hugo A. Morales-Técotl: Manifestly covariant Jüttner distribution and equipartition theorem. In: Physical Review E. 81, Nr. 2, 2010, S. 021126, doi:10.1103/PhysRevE.81.021126.