Mealy-Automat

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Ein Mealy-Automat ist ein endlicher Automat, dessen Ausgabe (im Gegensatz zu einem Moore-Automaten) von seinem Zustand und seiner Eingabe abhängt. Anschaulich bedeutet das, dass jeder Kante im Zustandsdiagramm ein Ausgabewert zugeordnet wird. Der Name geht auf George H. Mealy zurück, der für die Verwendung dieser Ausprägung eintrat.

Formale Definition[Bearbeiten]

Ein Mealy-Automat kann als 7-Tupel \mathcal{A} = \left( Q, \Sigma, \Omega, \delta, \lambda, q_0, F \right) definiert werden:

  • Q ist eine endliche Menge von Zuständen (\left| Q \right| < \infty). Statt Q wird oft auch Z verwendet.
  • \Sigma ist das Eingabealphabet, \left| \Sigma \right| < \infty.
  • \Omega ist das Ausgabealphabet, \left| \Omega \right| < \infty.
  • \delta: Q \times \Sigma \rightarrow Q ist die Übergangsfunktion.
  • \lambda: Q \times \Sigma \rightarrow \Omega ist die Ausgabefunktion.
    Gelegentlich wird eine kompaktere Notation gewählt und beide Funktionen zu einer Zustandsübergangsfunktion \zeta: Q \times \Sigma \rightarrow \Omega \times Q zusammengefasst.
  • q_0 \in Q ist der Startzustand. Statt q_0 wird oft auch z_0 oder  S_0 verwendet. Dieser Startzustand wird mit einer doppelten Umrandung bzw. einem Doppelpfeil gekennzeichnet.
  • F \subseteq Q ist eine (endliche) Menge möglicher akzeptierter Zustände (= Endzustandsmenge). Wenn der Automat nach Lesen des Eingabewortes w \in \Sigma^* in einem Zustand aus F hält, so gehört w zur Sprache L\left(A\right). Statt F wird oft auch A verwendet. Teilweise wird auch komplett auf F verzichtet, und ob ein Wort Element der Sprache des Automaten ist, wird nur durch die Ausgabe bestimmt.

Beispiel[Bearbeiten]

Der durch das folgende Zustandsdiagramm beschriebene Automat gibt seine Eingabe verzögert aus, d.h. zu einer Eingabe x0x1...xn erzeugt er die Ausgabe 0x0x1...xn-1. Hierbei bedeutet die Kantenbeschriftung 0/1, dass bei Eingabe einer Null zusätzlich zum Wechsel des Zustands eine Eins ausgegeben wird. S bezeichnet den jeweiligen Zustand.

Ein Mealy-Automat mit Startzustand S0

Zusammenhang mit Moore-Automat[Bearbeiten]

Mealy- und Moore-Automaten lassen sich ineinander umwandeln. Will man beispielsweise einen Mealy-Automaten in einen Moore-Automaten umwandeln kann man in folgenden drei Schritten vorgehen:

Schritt 1: Ausgabe in die Knoten schreiben

Für jede Kante wird die Ausgabe in den Zustand übertragen, auf dem die Kante endet. Hierbei stehen in der Regel verschiedene Ausgabewerte in einem Zustandsknoten.

Der Automat aus dem Beispiel mit Ausgabe in den Knoten

Schritt 2: Knoten aufspalten und eingehende Kanten umhängen

Die Zustände werden vervielfacht, so dass jedem Zustand nur noch höchstens ein Ausgabewert zugeordnet ist; anschließend hängt man eingehende Kanten entsprechend der Ausgabewerte auf die neuen Zustände um.

Der Automat mit zusätzlichen Zuständen

Schritt 3: Ausgehende Kanten vervielfachen

Zuletzt muss man alle ausgehenden Kanten der ursprünglichen Zustände kopieren und an die Zustände aus Schritt 2 anhängen.

Der Automat mit kopierten Kanten

Die Ausgabe des so konstruierten Moore-Automaten ist äquivalent zu der des ursprünglichen Mealy-Automaten.

Der fertige Moore-Automat

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • G. H. Mealy: A Method for Synthesizing Sequential Circuits, Bell System Tech. J. 34, pp. 1045–1079, September 1955.