Menger-Schwamm

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Menger-Schwamm nach der 4. Iterationsstufe

Der Menger-Schwamm gehört wie das Sierpinski-Dreieck und die Koch-Kurve zu den Objekten der fraktalen Geometrie. Der nach Karl Menger benannte Schwamm wurde zum ersten Mal 1926 in seiner Arbeit über Dimensionalität von Punktmengen veröffentlicht. Der Mengersche Schwamm ist ein dreidimensionales Analogon der Cantor-Menge oder des Sierpinski-Teppichs.

Formale Definition[Bearbeiten]

Formal lässt sich ein Menger-Schwamm M auf folgende Weise definieren:

M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

wobei M0 den Einheitswürfel bezeichne und

M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & 
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\\ \mathrm{und\ h \ddot o chstens\ eines\ aus\ }i,j,k\mbox{ hat den Wert 1}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}

Konstruktion[Bearbeiten]

Weitet man den Sierpinski-Teppich auf einen Würfel aus, dann bekommt man ein Gebilde, welches einem Schwamm ähnelt. In jedem Iterationsschritt wird der Würfel (bzw. jeder der Teilwürfel) in 27=3 \cdot 3 \cdot3 Teilwürfel zerlegt und sieben dieser Teilwürfel werden entfernt.

Die ersten fünf Iterationsstufen eines Sierpinski-Teppichs sehen wie folgt aus:

Entstehungsreihe des Menger-Schwamms vom Einheitswürfel bis zur 4. Iteration

Ähnlich verfährt man bei der Konstruktion des Menger-Schwamms, dessen Konstruktion sich iterativ aus folgenden Schritten ergibt:

  1. Ausgangslage ist ein Würfel.
  2. Man unterteilt jede Oberfläche des Würfel in neun Quadrate, diese unterteilen den Würfel in 27 kleinere Würfel, ähnlich dem Zauberwürfel.
  3. Jeder Würfel in der Mitte jeder Oberfläche wird entfernt sowie der Würfel im Inneren des großen Würfels. Es verbleibt ein Würfel, der aus 20 nur ein drittel so großen Würfeln besteht. Damit ist der neue Würfel der ersten Ordnung entstanden.
  4. Die Schritte 1-3 dieses Verfahren werden auf jeden verbleibenden kleineren Würfel angewendet.

Das sukzessive Fortfahren dieses Verfahrens führt mit jedem Iterationsschritt zur weiteren Aushöhlung des Würfels. Führt man das Verfahren unendlich weiter, ergibt sich das Fraktal Menger-Schwamm.


Allgemein gilt für den Menger-Schwamm, dass er nach n Iterationen aus N_n=20^n einzelnen Würfeln der entsprechenden Iterationsstufe besteht. Anders ausgedrückt erhält man 20 Kopien des Würfels bei Reduzierung der Größe auf ein Drittel. Die Seite des jeweils ausgehöhlten Würfels beträgt in Abhängigkeit von der Iteration L_n=\left( \tfrac{1}{3}\right)^n. Daraus leitet sich das Volumen für den n-ten Würfel V_n=L_n^3 N_n = \left( \tfrac{20}{27}\right)^n ab. Durch die fortwährende Aushöhlung konvergiert das Volumen im Grenzfall n\to\infty gegen Null, während die Oberfläche O_n= \tfrac{1}{9} \cdot \left(\tfrac{20}{9}\right)^{n-1} \left[40+80 \left(\tfrac{2}{5}\right)^n \right] für n \to \infty gegen unendlich strebt.[1] Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dabei vergleichsweise schnell; bereits ab dem 16. Konstruktionsschritt sind nur noch 1 % des Volumens vom Einheitswürfel M0 vorhanden.

Der genaue Wert der Hausdorff-Dimension des Menger-Schwamms ergibt sich aus der Definition:

 D = -\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log(N_n)}{\log(L_n)} = \frac{\log(20)}{\log(3)} = 2{,}726833\ldots.

Der „Körper“ des Menger-Schwamms besitzt demnach eine Hausdorff-Dimension kleiner als 3 (im Gegensatz zu nicht-fraktalen, tatsächlich 3-dimensionalen Körpern), während gleichzeitig seine Oberfläche eine Hausdorff-Dimension größer als 2 besitzt (im Gegensatz zur 2-dimensionalen Oberfläche nicht-fraktaler Körper). Oder anders ausgedrückt: der Menger-Schwamm ist ein Gebilde, das eine „krumme“ (fraktale) Dimension besitzt, die zwischen einer zweidimensionalen Fläche und einem dreidimensionalen Würfel liegt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jede Fläche des Menger-Schwamms ist ein Sierpinski-Teppich; außerdem ergibt der Schnitt des Gebildes mit einer Diagonalen oder Mittellinie der Seitenfläche des Einheitswürfels M0 die Cantor-Menge. Als Schnittmenge abgeschlossener Mengen handelt es sich beim Menger-Schwamm topologisch betrachtet um eine abgeschlossene Menge, und nach dem Überdeckungssatz von Heine-Borel ist diese auch kompakt. Er ist außerdem überabzählbar und sein Lebesgue-Maß ist 0.

Menger zeigte 1926, dass die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension des Schwamms zur entsprechenden Kurve gleich ist. Sie ist damit eine sogenannte räumliche Universalkurve und ist in der Lage sämtliche Kurven mit einer Dimension ≥3 darzustellen (→ Homöomorphismus).[2] Beispielsweise lassen sich damit Geometrien der Schleifenquantengravitation in einen Menger-Schwamm einbetten.

Der Menger-Schwamm besitzt eine selbstähnliche Struktur.

Bedeutung in der Gruppentheorie[Bearbeiten]

In der Geometrischen Gruppentheorie definiert man zu jeder endlich erzeugten Gruppe eine Metrik auf dem Cayley-Graphen und, falls die Gruppe wort-hyperbolisch ist, den „Rand im Unendlichen“ des Graphen. Viele Eigenschaften endlich erzeugter unendlicher Gruppen lassen sich aus diesem Rand im Unendlichen ableiten.

Dahmani, Guirardel und Przytycki haben (aufbauend auf Ergebnissen von Kapovich und Kleiner) bewiesen, dass in gewissem Sinne fast alle endlich erzeugten Gruppen als Rand den Menger-Schwamm haben.

Um dieses Ergebnis präzise zu formulieren braucht man zunächst den Begriff der "überwältigenden Wahrscheinlichkeit". Dieser ist wie folgt definiert. Zu einer Zahl d mit 0<d<1 betrachte man alle Gruppen mit n Erzeugern und (höchstens) dL Relationen der Länge (höchstens) L. Eine Eigenschaft P trifft (für das gewählte d) mit überwältigender Wahrscheinlichkeit zu, wenn für jedes n gilt: für L gegen unendlich geht der Anteil der Gruppen mit der Eigenschaft P geht gegen 100 %.

Mit dieser Definition kann man dann Wahrscheinlichkeitsaussagen über Gruppen formulieren und beweisen. Gromow hat bewiesen, dass man für d>1/2 mit überwältigender Wahrscheinlichkeit die triviale Gruppe oder Z/2Z (die Gruppe mit 2 Elementen) bekommt. Deshalb betrachtet man in der Theorie der zufälligen Gruppen nur den Fall d>1/2.

Für d<1/2 bekommt man nach Gromow mit überwältigender Wahrscheinlichkeit eine hyperbolische Gruppe G mit cd(G)=2 und deshalb 1-dimensionalem Rand.

Für 1-dimensionale Ränder hyperbolischer Gruppen gibt es nach einem Satz von Kapovich-Kleiner nur 3 Möglichkeiten: den Kreis, den Sierpinski-Teppich oder den Menger-Schwamm. Die ersten beiden Möglichkeiten kommen nach Ergebnissen von Kapovich-Kleiner und Dahmani-Guirardel-Przytycki „mit überwältigender Wahrscheinlichkeit“ nicht vor, weshalb also im einzig interessanten Fall d<1/2 der Rand mit überwältigender Wahrscheinlichkeit ein Menger-Schwamm ist.

Literatur[Bearbeiten]

  • Karl Menger: Dimensionstheorie, B.G Teubner Publishers, Leipzig 1928.
  • Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Erster Teil) im Jahr 1923 Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 33), Seiten 148–160.
  • Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Zweiter Teil), im Jahr 1926, Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 34).
  • Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag Basel, Boston, Berlin 1991, ISBN 3-7643-2646-8.
  • François Dahmani, Vincent Guirardel, Piotr Przytycki: 'Random groups do not split', Math. Ann. 349 (2011), no. 3, 657–673, http://front.math.ucdavis.edu/0904.3854
  • Michail Kapovich, Bruce Kleiner: 'Hyperbolic groups with low-dimensional boundary', Ann. Sci. Ecole Sup. (4) 33 (2000), no.5, 647-669, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_2000_4_33_5_647_0

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Menger-Schwamm – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. D. Pagon, Fraktale Geometrie - Eine Einführung, Vieweg (2000), ISBN 3-528-03152-2, S. 22
  2. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Seite 156