Meridianbogen

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Als Meridianbogen wird eine nord-südlich verlaufende Messstrecke auf der Erdoberfläche oder ihr mathematisches Äquivalent auf dem Erdellipsoid bezeichnet (vgl. Meridian).

Erstgenannte Messstrecke kann bei der „Methode der Gradmessung“ zur Bestimmung der mittleren Erdkrümmung und damit des Erdradius dienen. Dazu müssen auch die geografischen Breiten der beiden Streckenendpunkte (φ1, φ2) gemessen werden. Diese Breitenbestimmungen erfolgen astronomisch, indem die Höhenwinkel von Sternen beobachtet werden.

Die Strecke wird nun auf Meeresniveau reduziert und ihre Länge mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen. Hat der Meridianbogen die Länge B und die Breitendifferenz den Betrag β = |φ12|, so ergibt sich der lokale Krümmungsradius mit R = B/β. Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden – wie z. B. 1735–1740 bei den berühmten Expeditionen der Pariser Akademie nach Lappland und Peru.

Seit ca. 1900 werden in der Geodäsie jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte Vermessungsnetze verwendet.

Bedeutende Meridianbögen bis 1900[Bearbeiten]

Die ersten Meridianbögen der Wissenschaftsgeschichte dienten dem Nachweis der kugelförmigen Erdfigur und ihrer Größe. Nach der Erdmessung des Eratosthenes ist hier die Gradmessung des Kalifen Al-Ma'mun zu erwähnen, ein 2° langer Bogen bei Bagdad, der für den Meridiangrad 122 km ergab (heutiger Wert je nach Breitengrad 111–112 km). Überliefert ist auch die Messung des Pariser Meridians von Fernel 1525 zwischen Paris und Amiens mittels Sonnenbeobachtungen und Wagenrad-Umdrehungszählungen. Um 1615 vermaß Willebrord van Roijen Snell einen Meridianbogen zwischen Alkmaar und Bergen-op-Zoom.

Als eine merkliche Abweichung von der Kugelform – also die ellipsoidische Erdfigur – zu vermuten war, folgten im 18. und 19. Jahrhundert mehrere bedeutende Gradmessungen, vor allem

Bedeutende Meridianbögen des 20. Jahrhunderts[Bearbeiten]

Ab etwa 1900 wurden neben astronomischen Breitenmessungen bzw. meridional ausgerichteten Vermessungsnetzen auch Längenbestimmungen (also Ost-West-Profile) gemessen, die ab etwa 1910 allmählich ausgedehnten Flächennetzen wichen -- siehe Astro-geodätische Netzausgleichung.

Von den modernen Meridianbögen sind von besonderer Bedeutung:

  • der Meridianbogen von Spitzbergen (gemessen von Russland & Schweden 1898-1902). Mit 4,2° Amplitude ist er zwar relativ kurz, aber der nördlichste für die Erdmessung nutzbare Bogen
  • der südamerikanische Meridianbogen von Kolumbien durch ganz Ecuador bis zum Norden Perus - die 1899-1906 erfolgte Nachmessung des berühmten französischen Bogens von 1735–1740
  • der westeuropäisch-afrikanische Bogen (Meridian von Paris) von den Shetland-Inseln bis Laghouat bei Algier. Er hat 27° Amplitude (Breitendifferenz) und 38 Stationen
  • die nordamerikanische Breitengradmessung im 98°-Meridian von Mexiko bis zum Eismeer (1922)
  • und weitere Meridionalketten der USA sowie der 23° lange, schiefe Bogen entlang der Ostküste
  • die afrikanische Gradmessung im Längengrad 30° Ost, initiiert schon von Sir D.Gill, aber erst 1953 vollendet. Verlauf von Kairo bis Kapstadt, mit 65° Amplitude das längste Messprofil der klassischen Geodäsie.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Ein Meridianbogen auf einem Rotationsellipsoid hat die genaue Form einer Ellipse. Daher lässt sich seine Länge – gezählt vom Äquator – als elliptisches Integral berechnen und in Form einer Reihe nach Funktionen der geografischen Breite φ darstellen:

B = C\varphi + D\sin 2\varphi + E\sin 4\varphi + F\sin 6\varphi + \cdots usw.

Der erste Koeffizient C hängt mit dem mittleren Erdradius zusammen und beträgt für das Bessel-Ellipsoid 111,120 km/Grad. Der zweite Koeffizient D hängt mit der Erdabplattung zusammen und beträgt 15,988 km. Die Werte für andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle.

Die Entwicklung mittels Exzentrizität e2 gibt bereits Jean-Baptiste Joseph Delambre 1799:

\begin{align}B\approx
&\;a(1-e^2)\left\{\left(1+\frac{3}{4}e^2+\frac{45}{64}e^4+\frac{175}{256}e^6+\frac{11025}{16384}e^8\right)\varphi\right. \\
&\ -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}e^2+\frac{15}{16}e^4+\frac{525}{512}e^6+\frac{2205}{2048}e^8\right)\sin 2\varphi \\
&\ +\frac{1}{4}\left(\frac{15}{64}e^4+\frac{105}{256}e^6+\frac{2205}{4096}e^8\right)\sin 4\varphi \\
&\ -\frac{1}{6}\left(\frac{35}{512}e^6+\frac{315}{2048}e^8\right)\sin 6\varphi \\
&\ +\frac{1}{8}\left.\left(\frac{315}{16384}e^8\right)\sin 8\varphi\right\}\\
\end{align}

Friedrich Robert Helmert benutzte n=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}}\simeq\frac{e^2}{4} 1880:

\begin{align}B\approx 
  &\;\frac{a}{1+n}\left\{\left(1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\right)\varphi-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}\right)\sin 2\varphi\right. \\
  &\ \left.+\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right)\sin 4\varphi-\frac{35}{48}n^3\sin 6\varphi+\frac{315}{512}n^4\sin 8\varphi\right\}\\ 
\end{align}

Allgemeine Formeln gab Kazushige Kawase 2009:

B=\frac{a}{1+n}\sum_{j=0}^\infty\left(\prod_{k=1}^j\varepsilon_k\right)^2\left\{\varphi+\sum_{l=1}^{2j}\left(\frac{1}{l}-4l\right)\sin 2l\varphi\prod_{m=1}^l\varepsilon_{j+(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}^{(-1)^m}\right\}

wobei \varepsilon_i=3n/2i-n.

Literatur[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]