Millertheorem

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Zweipol-Schaltbild

Das Millertheorem, benannt nach John Milton Miller, behandelt die Verlegung von Impedanzen in elektrischen Netzen. Gibt es zwei Netze (Zweipole) die über eine Impedanz Z verbunden sind, so kann diese Impedanz so verlegt werden, dass beide Netze getrennt werden. Das Millertheorem ist die Verallgemeinerung des Millereffekts.

Die Verlegung in Z1 und Z2 ist dann korrekt, wenn beide Netze nach der Verlegung die gleichen Impedanzen sehen wie vorher.

Die beiden Spannungen sind über die Verstärkung

M = \frac{U_2}{U_1}

verknüpft, womit sich dann für die verlegten Impedanzen Z1 und Z2:

Z_1 = Z \frac {1} {1-M}
Z_2 = Z \frac{M}{M-1}

ergibt.

Zu beachten ist, dass bei einer Verstärkung M größer eins die Impedanz Z1 negativ ist, wenn Z positiv ist. Bei einem invertierenden Verstärker M kleiner minus -1 verringert sich die Impedanz Z1 im Vergleich zu Z deutlich.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Spannung UZ über die Impedanz Z ergibt sich aus der Differenz der Klemmenspannungen, wobei sich durch Substitution von M die aufgeführte Umwandlung ergibt.

I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_1}{Z}\left(1 - \frac{U_2}{U_1} \right) = \frac{U_1}{Z}(1 - M)

Gleichzeitig gilt die für die „gesehene“ Impedanz Z1:

I = I_1 = \frac{U_1}{Z_1}

Durch Gleichsetzen folgt:

\frac{U_1}{Z_1} = \frac{U_1}{Z}(1 - M)

und durch Äquivalenzumformung ergibt sich schließlich:

Z_1 = \frac{Z}{1-M}.

Analog gilt für die „gesehene“ Impedanz Z2:

I = \frac{U_Z}{Z} = \frac{U_1-U_2}{Z}=\frac{U_2}{Z}\left( \frac {U_1}{U_2} - 1  \right)=
\frac{U_2}{Z}\left( \frac {1}{M} - 1  \right) = \frac{U_2}{Z}\frac{1}{M} \left( 1-M  \right)
I = -1\cdot I_2 = -1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}
-1 \cdot \frac{U_2}{Z_2}=\frac{U_2}{Z}\frac{\left( 1-M  \right)}{M}
Z_2 = Z \frac{M}{M-1}