Milstein-Verfahren

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Milstein-Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode für die numerische Lösung von stochastischen Differentialgleichungen (SDGL), benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein (Staatliche Gorki-Universität des Uralgebiets).

Algorithmus[Bearbeiten]

Betrachte die Itō-SDGL

\mathrm{d} X_{t} = a(X_{t}) \, \mathrm{d} t + b(X_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},

mit Anfangsbedingung X_{0} = x_{0}, wobei W_{t} den Wiener-Prozess bezeichnet. Soll eine Lösung auf dem Intervall [0, T] gefunden werden, so erhält man durch das Milstein-Verfahren eine Approximation Y für die wahre Lösung X auf einem äquidistanten Gitter:

  • Zerlege das Intervall [0, T] in N gleich lange Teilintervalle der Länge \delta > 0:
0 = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_{N} = T und \delta = \tfrac{T}{N}.
  • Setze Y_0 := x_{0}.
  • Definiere Y_{n+1} für 0 \leq n < N durch
Y_{n + 1} := Y_{n} + a(Y_{n}) \delta + b(Y_{n}) \Delta W_{n} + \frac{1}{2} b(Y_{n}) b'(Y_{n}) \left( (\Delta W_{n})^{2} - \delta \right),

wobei

\Delta W_{n} = W_{\tau_{n + 1}} - W_{\tau_{n}}

und b' die Ableitung von b(x) bezüglich x ist. Beachte, dass die Zufallsvariablen \Delta W_{n} unabhängig normal verteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz \delta.

Konvergenz[Bearbeiten]

Mit den obigen Bezeichnungen gilt E[|Y_n-X(\tau_n)|] = \hbox{o}(\delta)\; für \delta \to 0 und alle n = 0, ..., N, weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht. \hbox{o} ist dabei ein Landau-Symbol.

Siehe auch[Bearbeiten]

Euler-Maruyama-Verfahren

Referenzen[Bearbeiten]

  • Peter E. Kloeden, Eckhard Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1999, ISBN 3-540-54062-8.