Minkowski-Funktional

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das Minkowski-Funktional (nach Hermann Minkowski), oft auch Eichfunktional genannt, eine Verallgemeinerung des Normbegriffes.

Definition

Es sei $X$ ein topologischer Vektorraum.

Ist $0\in U\subseteq X$ eine absorbierende Teilmenge, so heißt die Funktion

$p_U\colon X\to\mathbb R_0^+,\quad x\mapsto\inf\{\lambda\mid\lambda\geq0,x\in\lambda U\}$

das Minkowski-Funktional (oder Eichfunktional) zu $U$.

Eigenschaften

• Ist $U$ balanciert und konvex, so ist $p_U$ eine Halbnorm oder auch Seminorm. Umgekehrt hat für jede Seminorm $p$ die Menge $\{x\in X\mid p(x)<1\}$ die genannten Eigenschaften. Daraus folgt, dass die lokalkonvexen Räume genau die Räume sind, deren Topologie durch eine separierende Familie von Seminormen definiert werden kann.

• Ist $U$ balanciert, beschränkt und konvex, so ist das Minkowski-Funktional eine Norm auf $X$, die die vorgegebene Topologie induziert. Insbesondere ist ein topologischer Vektorraum genau dann normierbar, wenn es eine beschränkte konvexe Umgebung der Null gibt.

Beispiel

In einem euklidischen Raum (etwa dem dreidimensionalen Raum der alltäglichen Anschauung) betrachte man als Teilmenge $U$ die Einheitskugel. Dann ist das Minkowski-Funktional identisch mit der üblichen euklidischen Norm $\|x\|$, denn mit $\lambda=\|x\|$ liegt $x$ gerade auf dem Rand der Menge $\lambda U$, das ist die Kugel mit dem Radius $\lambda$ (und dem Mittelpunkt 0).