Minkowski-Funktional

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Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das Minkowski-Funktional (nach Hermann Minkowski), oft auch Eichfunktional genannt, eine Verallgemeinerung des Normbegriffes.

Definition[Bearbeiten]

Es sei X ein topologischer Vektorraum. Ist nun 0\in U\subseteq X eine absorbierende Teilmenge, so heißt die Funktion

p_U\colon X\to\mathbb R_0^+,\quad x\mapsto\inf\{\lambda\mid\lambda\geq0,x\in\lambda U\}

das Minkowski-Funktional oder Eichfunktional zu U.[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Ist U balanciert und konvex, so ist p_U eine Halbnorm oder auch Seminorm. Umgekehrt hat für jede Seminorm p die Menge \{x\in X\mid p(x)<1\} die genannten Eigenschaften. Daraus folgt, dass die lokalkonvexen Räume genau die Räume sind, deren Topologie durch eine separierende Familie von Seminormen definiert werden kann.
  • Ist U balanciert, beschränkt und konvex, so ist das Minkowski-Funktional eine Norm auf X, die die vorgegebene Topologie induziert. Insbesondere ist ein topologischer Vektorraum genau dann normierbar, wenn es eine beschränkte konvexe Umgebung der Null gibt.

Beispiel[Bearbeiten]

In einem euklidischen Raum (etwa dem dreidimensionalen Raum der alltäglichen Anschauung) betrachte man als Teilmenge U die Einheitskugel. Dann ist das Minkowski-Funktional identisch mit der üblichen euklidischen Norm, denn mit \lambda=\| x \|_2 liegt x gerade auf dem Rand der Menge \lambda U, also der Kugel mit Radius \lambda und Mittelpunkt 0.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Kapitel I, §6, Definition auf Seite 42