Minkowski-Raum

Der Minkowski-Raum, benannt nach Hermann Minkowski, ist ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die Relativitätstheorie elegant formulieren lässt. Minkowski führte ihn im Jahre 1907 zur Beschreibung der speziellen Relativitätstheorie ein. Er wird auch als Minkowski-Welt bezeichnet.

Drei seiner Koordinaten sind die des Euklidischen Raums; dazu kommt eine vierte Koordinate für die Zeit.

Definitionen im Reellen

Der Minkowski-Raum ist ein vierdimensionaler reeller Vektorraum, auf dem anstelle des üblichen Skalarprodukts eine nichtausgeartete Bilinearform vom Index 1 gegeben ist. Diese ist also nicht positiv definit. In der Regel setzt man

$\mathbf{x\cdot y} = - x_0 y_0 + x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$,

wobei die Koordinate $x_0 = ct$ ebenfalls reell definiert ist: Sie geht mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit $c$ aus der Zeitkoordinate $t$ hervor. Statt der hier gewählten Signatur ${(-,+,+,+)}$ wird – vor allem in der neueren Literatur – oft die physikalisch äquivalente umgekehrte Signatur ${(+,-,-,-)}$ gewählt. Die Zeit wird zuweilen auch als vierte statt als nullte Koordinate geführt. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die genannte „umgekehrte Signatur“ heute am häufigsten verwendet.

Alternativ kann man das innere Produkt auch als Wirkung des metrischen Tensors $\eta_{\mu\nu}$ auffassen:

$\mathbf{x\cdot y} = \eta_{\mu\nu}x^\mu y^\nu\,,$

indem man kontravariante und kovariante Vektorkomponenten unterscheidet (obere bzw. untere Indizes, z. B. $x^0=+ct\,,$ aber $x_0=\eta_{0\nu}\,x^\nu =-ct\,,$ $\eta_{\mu \nu}={\rm diag} (-1,+1,+1,+1)\,$ ).

Partiell imaginäre Definition der Raumzeit

Weniger ausbaufähig ist eine andere, in manchen älteren, einführenden Lehrbüchern  verwandte äquivalente Notation: Man kann die gemischte Signatur des inneren Produkts durch Verwendung einer imaginären Zeitachse vermeiden: $x_4=ict$. Dies ergibt als Hauptvorteil, dass man nicht zwischen kontravarianten und kovarianten Komponenten unterscheiden muss, sondern wie in der üblichen, elementaren Vektorrechnung arbeitet. Hierbei fasst man den Minkowski-Raum formal als komplexen (genauer: partiell imaginären) Innenproduktraum auf.

Lorentztransformationen

Die Lorentztransformationen sind diejenigen homogen-linearen Transformationen, die das Objekt $\eta_{\mu\nu}$ und damit das innere Produkt des Minkowskiraums invariant lassen, was die Bedeutung des Minkowskiraums in der speziellen Relativitätstheorie begründet. Auch eignet sich dieser Formalismus zur Verallgemeinerung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Raumartige, zeitartige und lichtartige Vektoren

Die Elemente $\,\mathbf v$ des Minkowski-Raums können entsprechend dem Vorzeichen von $\,\mathbf v^2$ in drei Klassen eingeteilt werden: Je nach dem (invarianten!) Vorzeichen von $ds^2$ unterscheidet man zeitartige, raumartige und lichtartige Vektoren. Die Invarianz dieser Einteilung bei allen Lorentz-Transformationen folgt aus Invarianz des Lichtkegels, wobei das Innere des Lichtkegels die kausale Struktur beschreibt („Zukunft“ - Vorwärtsbereich - bzw. „Vergangenheit“ - Rückwärtsbereich - des Inneren des Lichtkegels). Mögliche Ursachen eines Ereignisses liegen in der „Vergangenheit“, mögliche Auswirkungen in der „Zukunft“; außerdem gibt es noch den Außenbereich des Lichtkegels, der mit dem betrachteten Ereignis im Zentrum gar nicht „kausal zusammenhängt“, weil dazu Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit nötig wäre.

Siehe auch

• Minkowski-Diagramm
• Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Literatur

• Francesco Catoni: The mathematics of Minkowski space-time. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8613-9
• John W. Schutz: Independent axioms for Minkowski space-time. Longman, Harlow 1997, ISBN 0-582-31760-6

Weblinks

 Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien