Minkowski-Raum

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Der Minkowski-Raum, benannt nach Hermann Minkowski, ist ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die Relativitätstheorie elegant formulieren lässt. Um 1907 erkannte Minkowski, dass die Arbeiten von Hendrik Antoon Lorentz (1904) und Albert Einstein (1905) zur Relativitätstheorie in einem nicht-euklidischen Raum verstanden werden können. Er vermutete, dass Raum und Zeit in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum miteinander verbunden sind. Dies wird auch als Minkowski-Welt bezeichnet.

Drei seiner Koordinaten sind die des Euklidischen Raums; dazu kommt eine vierte Koordinate für die Zeit. Der Minkowski-Raum \mathbb M^4 ist also analog wie ein euklidischer Raum \mathbb R^4 aufgebaut. Wegen der unterschiedlichen Struktur von Raum- und Zeitkoordinaten (siehe unten) sind beide Räume aber wesentlich verschieden.

Definitionen im Reellen[Bearbeiten]

Der Minkowski-Raum ist ein vierdimensionaler reeller Vektorraum, auf dem das Skalarprodukt nicht durch den üblichen Ausdruck, sondern durch eine nichtausgeartete Bilinearform vom Index 1 gegeben ist. Diese ist also nicht positiv definit. Man ordnet den Minkowski-Vierervektoren (sog. „Ereignissen“) vier-komponentige Elemente \mathbf x \rm{\,\,bzw.\,\,} \mathbf y zu und setzt in der Regel

\mathbf{x\cdot y} := - x_0 y_0 +  x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3,

wobei die Koordinate x_0 = ct ebenfalls reell definiert ist: Sie geht mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit c aus der Zeitkoordinate t hervor. Statt der hier gewählten Signatur {(-,+,+,+)} wird – vor allem in der neueren Literatur – oft die physikalisch äquivalente umgekehrte Signatur {(+,-,-,-)} gewählt. Die Zeit wird zuweilen auch als vierte statt als nullte Koordinate geführt. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Signatur {(-,+,+,+)} heute am häufigsten verwendet.

Alternativ kann man das innere Produkt zweier Elemente des Minkowski-Raumes auch als Wirkung des metrischen Tensors \eta_{\mu\nu} auffassen:

\mathbf{x\cdot y} :=  \eta_{\mu\nu}x^\mu y^\nu\,,

indem man kontravariante und kovariante Vektorkomponenten unterscheidet (obere bzw. untere Indizes, z. B. x^0=+ct\,, aber x_0=\eta_{0\nu}\,x^\nu =-ct\,, \eta_{\mu \nu}={\rm diag} (-1,+1,+1,+1)\, ).

Partiell imaginäre Definition der Raumzeit[Bearbeiten]

Weniger ausbaufähig ist eine andere, in manchen älteren, einführenden Lehrbüchern [1] verwandte äquivalente Notation: Man kann die gemischte Signatur des inneren Produkts durch Verwendung einer imaginären Zeitachse vermeiden: x_4=ict. Dies ergibt als Hauptvorteil, dass man nicht zwischen kontravarianten und kovarianten Komponenten unterscheiden muss, sondern wie in der üblichen, elementaren Vektorrechnung arbeiten kann. Hierbei fasst man den Minkowski-Raum formal als komplexen (genauer: partiell imaginären) Innenproduktraum auf.

Lorentztransformationen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lorentztransformation

Die Lorentztransformationen spielen eine ähnliche Rolle wie in euklidischen Räumen die Elemente der Drehgruppe; es sind diejenigen homogen-linearen Transformationen, die das Objekt \eta_{\mu\nu} und damit das innere Produkt des Minkowskiraums invariant lassen, was die Bedeutung des Minkowskiraums in der speziellen Relativitätstheorie begründet. Auch eignet sich dieser Formalismus zur Verallgemeinerung in der allgemeinen Relativitätstheorie. Im Gegensatz zu den Drehgruppen haben sie auch die Kausalstruktur der Systeme als Folge:

Kausalstruktur (raumartige, zeitartige und lichtartige Vektoren)[Bearbeiten]

Die Elemente des Minkowski-Raums können in drei Klassen eingeteilt werden: Je nach dem (invarianten!) Vorzeichen von y^2 unterscheidet man zeitartige Minkowski-Vektoren (das entspricht kausal durch „massive Körper“ beeinflussbaren „Ereignispaaren“[2]), raumartige Minkowski-Vektoren (kausal nicht beeinflussbare Ereignispaare) und - als Grenzfall - lichtartige Minkowski-Vektoren (kausal nur durch Lichtsignale beeinflussbare Ereignispaare). Die Invarianz dieser Einteilung bei allen Lorentz-Transformationen folgt aus der Invarianz des Lichtkegels, wobei das Innere des Lichtkegels die kausale Struktur beschreibt („Zukunft“ - Vorwärtsbereich - bzw. „Vergangenheit“ - Rückwärtsbereich - des Inneren des Lichtkegels). Mögliche Ursachen eines Ereignisses liegen in der „Vergangenheit“, mögliche Auswirkungen in der „Zukunft“; außerdem gibt es noch den Außenbereich des Lichtkegels, der mit dem betrachteten Ereignis im Zentrum gar nicht „kausal zusammenhängt“, weil dazu Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit nötig wäre.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Francesco Catoni: The mathematics of Minkowski space-time. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8613-9
  • John W. Schutz: Independent axioms for Minkowski space-time. Longman, Harlow 1997, ISBN 0-582-31760-6

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Siehe etwa das Lehrbuch der Theoretischen Physik von Friedrich Hund, Band II.
  2. Dass es sich um Ereignispaare handelt, wird klar, wenn man als \,\mathbf y^2 infinitesimale Differenzen \,\mathrm d\mathbf {y}^2 verwendet.