Minkowski-Summe

Die Minkowski-Summe (nach Hermann Minkowski) zweier Mengen A und B mit Elementen aus einem Vektorraum ist die resultierende Menge der Summen aller Elemente aus A und aller Elemente aus B.

Definition

Seien $A, B \subset V$ zwei Teilmengen eines Vektorraums. Dann ist die Minkowski-Summe definiert durch

$A + B := \{c \,|\, \exist\,a \in A, \exist\,b \in B: c=a+b\}\,.$

Kürzer kann man dies auch durch

$A + B := \{a+b\,|\,a \in A, b \in B\}$

ausdrücken.

Teilweise wird die Minkowski-Summe auch mit dem $\oplus$-Zeichen anstatt mit dem normalen Pluszeichen notiert. Im Bereich der linearen Algebra und der Funktionalanalysis kann dies jedoch zu Verwechslungen mit der direkten Summe führen.

Anwendungen findet die Minkowski-Summe zum Beispiel in der 2D- und 3D-Computergrafik und Bildverarbeitung (speziell Morphologie; wird dort allerdings meist binäre Dilation oder Dilatation genannt. Das Gegenstück ist die Erosion), in der linearen Optimierung (zum Beispiel Minkowski-Summe eines Polytops und eines simplizialen Kegels), in der Funktionalanalysis und in der Robotersteuerung.

Eigenschaften

Die Minkowski-Summe ist assoziativ, kommutativ und distributiv bezüglich der Vereinigung von Mengen (das heißt $A + (B \cup C) = (A + B)\cup(A + C)$.

Für die Mächtigkeit der Minkowski-Summe gilt $|A + B| \leq |A| \cdot |B|$ , denn jedes Element wird mit jedem addiert und mehrfache Summen befinden sich nur einmal in der Menge.

Die Minkowski-Summe aus konvexen Mengen ist wieder eine konvexe Menge. Bei konvexen Mengen kann die Berechnung der Minkowski-Summe auch sehr leicht grafisch erfolgen: Man schiebt ein Polytop auf dem Rand des anderen entlang und der überdeckte Bereich ist die Minkowski-Summe.

Beispiel

Gegeben A und B mit Elementen aus $\mathbb R^2$:

$A = {(1,0), (0,1), (0,-1)}, B = {(0,0), (1,1), (1,-1)}$

Dann ist die Minkowski-Summe von A und B nach sturer Berechnung:

$A + B = \{(1,0),(2,1),(2,-1), (0,1),(1,2),(1,0), (0,-1),(1,0),(1,-2)\}$

Der Punkt (1,0) kommt dreifach vor, d.h.

$A + B = \{(1,0), (2,1), (2,-1), (0,1), (1,2), (0,-1), (1,-2)\}$

A und B stellen gleichschenklige Dreiecke (konvex) dar. Die Minkowski-Summe ergibt ein konvexes Sechseck, das man als entstanden durch Entlangfahren von B am Rand von A auffassen kann, wie die Abbildung zeigt.

Weblinks

• Demonstration der Minkowski-Summe (englisch)
• Applet zur Demonstration der Minkowski-Summe (englisch)