Minkowski-Summe

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Die Minkowski-Summe (nach Hermann Minkowski) zweier Mengen A und B mit Elementen aus einem Vektorraum ist die resultierende Menge der Summen aller Elemente aus A und aller Elemente aus B.

Definition[Bearbeiten]

Seien A, B \subset V zwei Teilmengen eines Vektorraums. Dann ist die Minkowski-Summe definiert durch

A + B := \{a+b\,|\,a \in A, b \in B\}.

Teilweise wird die Minkowski-Summe auch mit dem \oplus-Zeichen anstatt mit dem normalen Pluszeichen notiert.[1] Im Bereich der linearen Algebra und der Funktionalanalysis kann dies jedoch zu Verwechslungen mit der direkten Summe führen.

Anwendungen findet die Minkowski-Summe zum Beispiel in der 2D- und 3D-Computergrafik und Bildverarbeitung (speziell Morphologie; wird dort allerdings meist binäre Dilation oder Dilatation genannt. Das Gegenstück ist die Erosion), in der linearen Optimierung (zum Beispiel Minkowski-Summe eines Polytops und eines Polyederkegels), in der Funktionalanalysis und in der Robotersteuerung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Minkowski-Summe ist assoziativ, kommutativ und distributiv bezüglich der Vereinigung von Mengen, das heißt A + (B \cup C) = (A + B)\cup(A + C).

Für die Mächtigkeit der Minkowski-Summe gilt |A + B| \leq |A| \cdot |B| , denn jedes Element wird mit jedem addiert und mehrfache Summen befinden sich nur einmal in der Menge.

Die Minkowski-Summe aus konvexen Mengen ist wieder eine konvexe Menge. Bei konvexen Mengen kann die Berechnung der Minkowski-Summe auch sehr leicht grafisch erfolgen: Man schiebt ein Polytop auf dem Rand des anderen entlang und der überdeckte Bereich ist die Minkowski-Summe.

Beispiel[Bearbeiten]

Gegeben A und B mit Elementen aus \mathbb R^2:

A = \{(1,0), (0,1), (0,-1)\}, B = \{(0,0), (1,1), (1,-1)\}

Minkowski-sumex1.svg Minkowski-sumex2.svg

Dann ist die Minkowski-Summe von A und B nach sturer Berechnung:

A + B = \{(1,0),(2,1),(2,-1), (0,1),(1,2),(1,0), (0,-1),(1,0),(1,-2)\}

Der Punkt (1,0) kommt dreifach vor, d.h.

A + B = \{(1,0), (2,1), (2,-1), (0,1), (1,2), (0,-1), (1,-2)\}

A und B stellen gleichschenklige Dreiecke (konvex) dar. Die Minkowski-Summe ergibt ein konvexes Sechseck, das man als entstanden durch Entlangfahren von B am Rand von A auffassen kann, wie die Abbildung zeigt.

Minkowski-sumex3.svg Minkowski-sumex4.svg

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf: Computational Geometry: Algorithms and Applications. Springer-Verlag.