Mittag-Leffler-Funktion

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Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten gebrochenen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

\Epsilon_\alpha(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+1)},

wobei \Gamma(x) die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle \alpha mit positivem Realteil. Im Spezialfall \alpha=1 ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

\Epsilon_{\alpha,\beta}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}.

Spezialfälle dieser Funktion sind

  • Gaußsche Fehlerfunktion:
E_{1/2,1}(z)=\exp(z^2) \operatorname{erfc}(-z)
  • Hyperbelsinus:
E_{2,1}(z)=\cosh(\sqrt z)

Literatur[Bearbeiten]

  • M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554-558
  • R.K. Saxena, A.M. Mathai H.J. Haubold : On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S.281-287 (ISSN 0004-640X), (pdf-Version)

Weblinks[Bearbeiten]