Mittelbare Gruppe

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Mittelbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der harmonischen Analyse. Es handelt sich dabei um lokalkompakte Gruppen, auf denen eine gewisse Mittelungsfunktion, ein sogenanntes Mittel, existiert.

Definition[Bearbeiten]

Es sei G eine lokalkompakte Gruppe. Auf G gibt es bekanntlich ein Haarsches Maß \mu. Unter L^\infty(G) versteht man den L^\infty-Raum des Maßraums (G,\mu), d.h. den Vektorraum der beschränkten Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden.

Für eine auf G definierte Funktion f:G\rightarrow X und ein Element s\in G sei f_s:G\rightarrow X durch f_s(t) := f(s^{-1}t) definiert.

Ein stetiges lineares Funktional m:L^\infty(G)\rightarrow \C heißt ein Mittel auf G, falls gilt

  • m(1)=1, wobei die 1 auf der linken Seite für die konstante Einsfunktion steht,
  • m(f)\ge 0 für alle f\in L^\infty(G) mit f\ge 0 (d.h. f(t) \ge 0 für alle t\in G),
  • m(f_s)\,=\,m(f) für alle f\in L^\infty(G) und s\in G.[1]

Die ersten beiden Eigenschaften besagen gerade, dass m ein Zustand ist. Die dritte Eigenschaft nennt man auch Linksinvarianz.

Die Gruppe G heißt mittelbar, falls es ein Mittel auf G gibt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Kompakte Gruppen sind mittelbar, das auf 1 normierte Haarsche Maß ist ein Mittel.
  • Kommutative lokalkompakte Gruppen sind mittelbar. Ein Mittel kann man im nicht-kompakten Fall nicht direkt angeben, der Beweis erfordert einen nicht-konstruktiven Fixpunktsatz.[2]
  • Quotienten und abgeschlossene Untergruppen mittelbarer Gruppen sind mittelbar.
  • Wenn H ein Normalteiler von G ist und wenn H und G/H mittelbar sind, dann ist G mittelbar. Insbesondere sind lokalkompakte auflösbare Gruppen mittelbar.
  • Die von 2 Elementen frei erzeugte Gruppe \mathbb{F}_2 ist das prototypische Beispiel einer nicht-mittelbaren Gruppe. [3]
  • Eine Gruppe mit Eigenschaft T ist genau dann mittelbar, wenn sie kompakt ist.
  • Eine hyperbolische Gruppe ist genau dann mittelbar, wenn sie elementar hyperbolisch, d.h. endlich oder virtuell \mathbb Z ist.

Permanenzeigenschaften[Bearbeiten]

Bedeutung[Bearbeiten]

Die Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen mittels C*-Algebren ist für mittelbare Gruppen zugänglicher. Bezeichnet C^*(G) die Gruppen-C*-Algebra, C_r^*(G) die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und \lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G) die linksreguläre Darstellung, so sind nach einem Satz von Andrzej Hulanicki folgende Aussagen über eine lokalkompakte Gruppe G äquivalent [4] [5]:

  • G ist mittelbar.
  • Die linksreguläre Darstellung \lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G) ist ein Isomorphismus.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes besagt, dass das verschränkte Produkt einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe mit der reduzierten Version des verschränkten Produktes zusammenfällt. [6]

Gruppen-C*-Algebren mittelbarer Gruppen sind nuklear, für diskrete Gruppen gilt die Umkehrung.[7]

Bemerkungen[Bearbeiten]

Invariante Maße sind durch John von Neumann[8] eingeführt worden. Eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie der mittelbaren Gruppen ist das Buch von Fredrick Greenleaf[9], dort finden sich auch vollständige Beweise obiger Permanenzeigenschaften. Die sogenannte von-Neumann-Vermutung, nach der jede nicht-mittelbare Gruppe eine zu \mathbb{F}_2 isomorphe Untergruppe enthält, ist 1980 von Olschanski widerlegt worden.[10]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.3.3.
  2. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Korollar VII.2.2
  3. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-821-80599-1, Beispiel VII.2.4
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.3.9.
  5. A. Hulanicki: Means and Følner conditions on locally compact groups, Studia Mathematica Band 27 (1966), Seiten 87-104
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.7.7.
  7. C. Lance: On Nuclear C*-Algebras, Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157-176, Theorem 4.2
  8. J. v. Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Masses, Fundamenta Mathematicae Band 13 (1929), Seiten 370-427
  9. F. P. Greenleaf: Invariant Means on Topological Groups, Van Nostrand Reinhold (1969), ISBN 0-4420-2857-1
  10. A. Olschanski: "Über Fragen zur Existenz invarianter Mittel auf einer Gruppe, Uspechi Mat. Nauk (1980) Band 35 (4), Seiten 199–200 (russisch)