Mittelbare Gruppe

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Mittelbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der harmonischen Analyse. Es handelt sich dabei um lokalkompakte Gruppen, auf denen eine gewisse Mittelungsfunktion, ein sogenanntes Mittel, existiert.

Definition[Bearbeiten]

Es sei G eine lokalkompakte Gruppe. Auf G gibt es bekanntlich ein Haarsches Maß \mu. Unter L^\infty(G) versteht man den L^\infty-Raum des Maßraums (G,\mu), d.h. den Vektorraum der beschränkten Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden.

Für eine auf G definierte Funktion f:G\rightarrow X und ein Element s\in G sei f_s:G\rightarrow X durch f_s(t) := f(s^{-1}t) definiert.

Ein stetiges lineares Funktional m:L^\infty(G)\rightarrow \C heißt ein Mittel auf G, falls gilt

  • m(1)=1, wobei die 1 auf der linken Seite für die konstante Einsfunktion steht,
  • m(f)\ge 0 für alle f\in L^\infty(G) mit f\ge 0 (d.h. f(t) \ge 0 für alle t\in G),
  • m(f_s)\,=\,m(f) für alle f\in L^\infty(G) und s\in G.[1]

Die ersten beiden Eigenschaften besagen gerade, dass m ein Zustand ist. Die dritte Eigenschaft nennt man auch Linksinvarianz.

Die Gruppe G heißt mittelbar, falls es ein Mittel auf G gibt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Kompakte Gruppen sind mittelbar, das auf 1 normierte Haarsche Maß ist ein Mittel.
  • Kommutative lokalkompakte Gruppen sind mittelbar. Ein Mittel kann man im nicht-kompakten Fall nicht direkt angeben, der Beweis erfordert einen nicht-konstruktiven Fixpunktsatz.[2]
  • Lokalkompakte auflösbare Gruppen sind mittelbar.
  • Die von 2 Elementen frei erzeugte Gruppe \mathbb{F}_2 ist das prototypische Beispiel einer nicht-mittelbaren Gruppe. [3]
  • Eine Gruppe mit Eigenschaft T ist genau dann mittelbar, wenn sie kompakt ist.
  • Eine hyperbolische Gruppe ist genau dann mittelbar, wenn sie elementar hyperbolisch, d.h. endlich oder virtuell \mathbb Z ist.

Permanenzeigenschaften[Bearbeiten]

Bedeutung[Bearbeiten]

Die Darstellungstheorie lokalkompakter Gruppen mittels C*-Algebren ist für mittelbare Gruppen zugänglicher. Bezeichnet C^*(G) die Gruppen-C*-Algebra, C_r^*(G) die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und \lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G) die linksreguläre Darstellung, so sind nach einem Satz von Andrzej Hulanicki folgende Aussagen über eine lokalkompakte Gruppe G äquivalent [4] [5]:

  • G ist mittelbar.
  • Die linksreguläre Darstellung \lambda:C^*(G)\rightarrow C_r^*(G) ist ein Isomorphismus.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes besagt, dass das verschränkte Produkt einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe mit der reduzierten Version des verschränkten Produktes zusammenfällt. [6]

Gruppen-C*-Algebren mittelbarer Gruppen sind nuklear, für diskrete Gruppen gilt die Umkehrung.[7]

Bemerkungen[Bearbeiten]

Invariante Maße sind durch John von Neumann[8] eingeführt worden. Eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie der mittelbaren Gruppen ist das Buch von Fredrick Greenleaf[9], dort finden sich auch vollständige Beweise obiger Permanenzeigenschaften. Die sogenannte von-Neumann-Vermutung, nach der jede nicht-mittelbare Gruppe eine zu \mathbb{F}_2 isomorphe Untergruppe enthält, ist 1980 von Alexander Olschanski widerlegt worden.[10]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, 7.3.3.
  2. Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-821-80599-1, Korollar VII.2.2.
  3. Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-821-80599-1, Beispiel VII.2.4.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.
  5. Andrzej Hulanicki: Means and Følner conditions on locally compact groups. In: Studia Mathematica. Bd. 27, Nr. 2, 1966, S. 87–104, online.
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups (= LMS Monographs. Bd. 14). Academic Press, London u. a. 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.7.7.
  7. Christopher Lance: On Nuclear C*-Algebras. In: Journal of Functional Analysis. Bd. 12, Nr. 2, 1973, S. 157–176, doi:10.1016/0022-1236(73)90021-9, Theorem 4.2.
  8. John von Neumann: Zur allgemeinen Theorie des Masses. In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 13, 1929, S. 73–116, online; Zusatz zur Arbeit „Zur allgemeinen Theorie des Masses“. Bd. 13, 1929, S. 333, online.
  9. Fredrick P. Greenleaf: Invariant Means on Topological Groups and their Applications (= Van Nostrand Mathematical Studies. Bd. 16, ZDB-ID 793375-7). Van Nostrand Reinhold, New York u. a. 1969, ISBN 0-4420-2857-1.
  10. Александр Ю. Ольшанский: К Вопросу о Существовании инвариантного Среднего на Группе. In: Успехи Математических Наук. Bd. 35, Nr. 4 = 214, 1980, ISSN 0042-1316, S. 199–200, online, (Über Fragen zur Existenz invarianter Mittel auf einer Gruppe.).