Mittelpunktsregel

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Mittelpunktsregel
Tangententrapezregel

Die Mittelpunktsregel (auch Rechteckregel oder Tangententrapezregel) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen (Numerische Quadratur). Man nimmt dabei den Mittelpunkt des Intervalls [a;b] und multipliziert den Funktionswert an dieser Stelle mit der Intervallbreite (b-a) um das Integral zu bekommen:

\int_{a}^{b}f(x)\, dx \approx f\left(\frac{a+b}{2} \right) \cdot (b-a).

Dreht man im obenstehenden Bild der Mittelpunktsregel die horizontale Gerade im Punkt (c,f(c)) gegen den Uhrzeigersinn, so erhält man die Tangente für den Punkt (c,f(c)). Es ergibt sich das untenstehende Bild der Tangententrapezregel. Da das so erhaltene Trapez den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck besitzt, sind somit die Mittelpunktsregel und die Tangententrapezregel nur verschiedene geometrische Deutungen der gleichen Quadraturformel.

Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel oder der zusammengesetzten Tangententrapezformel wird nun das Intervall [a;b] in n Teilintervalle der Breite h=(b-a)/n aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf. Dies führt zur Gleichung:[1]

\int_{a}^{b}f(x)\, dx \approx h \cdot \sum_{i=1}^{n}f\left(a - \frac{h}{2} + i \cdot h\right).

Beispiel[Bearbeiten]

Es sei eine Funktion f(x) = \ln x im Intervall [2;6] zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals \int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^6 \ln x dx nötig. Die allgemeine Lösung ist:

\int \ln x dx = x \ln x - x + C

Demnach ist \int_2^6 f(x)\, dx = 5{,}3642\ldots

Bei der Nutzung der zusammengesetzten Mittelpunktsregel mit vier Teilintervallen ergibt sich folgendes:

  1. Zerlegung des Intervalls [2;6] in vier Teilintervalle: [2;3], [3;4], [4;5] und [5;6] mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
  2. Berechnung von: \frac{6-2}{4} \cdot (f(2{,}5) + f(3{,}5) + f(4{,}5) + f(5{,}5)) =  \frac{4}{4} (\ln 2{,}5 + \ln 3{,}5 + \ln 4{,}5 + \ln 5{,}5) \approx 0{,}9163 + 1{,}2528 + 1{,}5041 + 1{,}7047 = 5{,}3779
  3. Es gilt also \int_2^6 f(x)\, dx \approx 5{,}3779.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hans Petter Langtangen: A Primer on Scientific Programming with Python. Springer, Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-642-30293-0.

Weblinks[Bearbeiten]