Mittlerer Binomialkoeffizient

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In der Mathematik ist der n-te mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl n gegeben durch

{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}

Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen:

                    \mathbf 1                    
                  1   1                  
                1   \mathbf 2   1                
              1   3   3   1              
            1   4   \mathbf 6   4   1            
          1   5   10   10   5   1          
        1   6   15   \mathbf{20}   15   6   1        
      1   7   21   35   35   21   7   1      
    1   8   28   56   \mathbf {70}   56   28   8   1    

Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also (Folge A000984 in OEIS):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Darstellungen[Bearbeiten]

Es gilt

{2n\choose n}=2^{2n}\cdot\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.

Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis-Produkt.

Abschätzungen[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für n \geq 1 die Abschätzung:

\frac{1}{2} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} < {2n \choose n} < \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}

Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol):

{2n \choose n} \in \Theta\left(\frac{4^n}{\sqrt{n}}\right)

Genauer:

\lim_{n\rightarrow\infty} \left({2n \choose n} \left(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\right)^{-1} \right) = 1

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die erzeugende Funktion lautet

\frac1{\sqrt{1-4x}} = \mathbf 1 + \mathbf 2x + \mathbf 6x^2 + \mathbf{20}x^3 + \mathbf{70}x^4 + \mathbf{252}x^5 + \cdots.

Zahlentheoretische Eigenschaften[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen p\geq5

{2p\choose p}\equiv2\mod p^3

(für die Symbolik siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer 1 vor.

Weiterhin gilt, dass die Zahlen für n>4 nie quadratfrei sind, siehe Satz von Sárkőzy.

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Eine Integraldarstellung lautet wie folgt:

\binom{2n}n = \frac{2^{2n+1}}\pi \int\limits_0^\infty \frac{\mathrm dx}{(x^2+1)^{n+1}}[1]

Reihen der Kehrwerte[Bearbeiten]

Es gilt:

\sum_{n=1}^\infty \frac1{\binom{2n}n} = \frac1{27}(2\pi \sqrt3+9) = 0{,}7363998587187\ldots

Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 in OEIS.

Einige weitere ähnliche Reihen sind:

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac1{n\binom{2n}n} &= \frac19\pi\sqrt 3 &=&\, 0{,}60459\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2\binom{2n}n} &= \frac1{18}\pi^2 &=&\, 0{,}54831... \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3\binom{2n}n} &= \frac1{18}\pi\sqrt3 \left(\psi_1(\tfrac13)-\psi_1(\tfrac23)\right) -\frac43\zeta(3) & {} & {} \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^4\binom{2n}n} &= \frac{17}{3240}\pi^4 &=&\, 0{,}51109\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^5\binom{2n}n} &= \frac1{432}\pi\sqrt3 \left(\psi_3(\tfrac13)-\psi_3(\tfrac23)\right) -\frac{19}3\zeta(5)+\frac19\zeta(3) \pi^2 & {} & {} \end{align}

vgl. Folge A073010 in OEIS, Folge A086463 in OEIS, -, Folge A086464 in OEIS, -. Dabei bezeichnet \ \psi_1 die Digamma-Funktion, \ \psi_2 die Trigammafunktion und allgemein \ \psi_n die n-te Polygammafunktion; \ \zeta(x) die Riemannsche Zetafunktion und \ \pi die Kreiszahl.

Ganz allgemein gilt folgende wunderschöne Formel:

\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^k\binom{2n}n} = \frac12\, \cdot \, {}_{k+1}F_k \left(\underbrace{1,\ldots,1}_{k+1}; \tfrac32, \underbrace{2,\ldots,2}_{k-1}; \tfrac14 \right)

für k\ge1, wobei {}_mF_n(a_1,\ldots,a_m;b_1,\ldots,b_n;x) die Hypergeometrische Funktion bezeichnet; vgl. [2].

Auch die entsprechenden alternierenden Reihen konvergieren, und zwar zu folgenden Grenzwerten:

\begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\binom{2n}n} &= \frac1{25}\left(5+4\sqrt5\cdot \mathrm{arccsch}(2)\right) &=&\, 0{,}37216357638560161555577\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\binom{2n}n} &= \frac25\sqrt5\cdot \mathrm{arccsch}(2) &=&\; 0{,}430408940964\ldots\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2\binom{2n}n} &= 2\left(\mathrm{arccsch}(2)\right)^2 & = &\; 0{,}463129641154\ldots \\
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3\binom{2n}n} &= \frac25\zeta(39) &=&\; 0{,}48082276126\ldots \end{align}

vgl. Folge A086465 in OEIS, Folge A086466 in OEIS, Folge A086467 in OEIS, Folge A086468 in OEIS.

Analog lässt sich allgemein schreiben:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^k\binom{2n}n} = \frac12\, \cdot \, {}_{k+1}F_k \left(\underbrace{1,\ldots,1}_{k+1}; \tfrac32, \underbrace{2,\ldots,2}_{k-1}; \tfrac{-1}4 \right).

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen C_n. Sie sind gegeben durch

C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n}

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Im pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:

 { m \choose {\lfloor \frac{m}{2} \rfloor} } für m\in\mathbb{N}_0.

Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen m betrachtet.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. V. H. Moll: Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf
  2. S. Plouffe: The Art of Inspired Guessing. 7. Aug. 1998; http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired.html