Modus (Statistik)

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Der Modus {x_D} oder Modalwert ist

Existenz und Eindeutigkeit[Bearbeiten]

Die Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung. Der Erwartungswert der Verteilung existiert nicht, der Modus ist  x_0
Beispiel für Verteilungen mit einem oder zwei Modi.

Im Gegensatz zum Erwartungswert ist der Modus ein Lagemaß, das immer existiert. Allerdings ist es nicht immer eindeutig. Hat zum Beispiel die statistische Variable oder Zufallsvariable mindestens ordinales Skalenniveau, so kann die Häufigkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion auch mehrere voneinander getrennte Maxima (Modi oder Modalwerte) besitzen. Je nach der Anzahl der Modi findet man eine unimodale Verteilung (nur ein Maximum), bimodale oder zweigipflige (genau zwei Maxima) oder multimodale oder mehrgipflige Verteilung (mehr als zwei Maxima).

Skalen-Abhängigkeit[Bearbeiten]

Für die Bestimmung des Modus genügt nominales Skalenniveau, wohingegen zum Beispiel für den Median eine Ordinalskala und für die Berechnung des arithmetischen Mittels eine Intervallskala Voraussetzung ist.

Charakterisierung der Neigung[Bearbeiten]

In Beobachtungsreihen mit ordinal- und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung - ähnlich der statistischen Schiefe - charakterisieren.[1] Die Karl Pearson Modus-Schiefe ist zum Beispiel definiert als

 \frac{\text{Arithmetisches Mittel} - \text{Modus}}{\text{Standardabweichung}}.

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:[2]

  • rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
  • linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
  • unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

Erkenntnisgewinn[Bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Exponentialverteilung. Unabhängig vom Parameter  \lambda ist der Modus immer 0.

Bei Verteilungen, die mittels monotoner Dichtefunktionen, wie der Exponentialfunktion, beschrieben werden können, unterlässt man die Angabe des Modus, weil dies keinen Erkenntnisgewinn mit sich bringt.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Beispiel mit einer häufigsten Ausprägung:
\{1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5\}
Bei dieser unimodalen Verteilung ist die häufigste Ausprägung 4 (9 Beobachtungen). Damit ist der Modus 4.
  • Beispiel mit mehreren häufigsten Ausprägungen:
\{1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7\}
Diese Häufigkeitsverteilung besitzt zwei Modi, 2 und 5, jeweils mit der Häufigkeit 2. Eine solche Verteilung heißt auch bimodal.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Markus Wirtz, Christof Nachtigall: Deskriptive Statistik - Statistische Methoden für Psychologen. 5. Auflage. Juventa, 2008.
  2. Paul T. von Hippel: Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule. Journal of Statistics Education Volume 13, Number 2, 2005.