Modus tollens

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Modus tollens (lat. für: Modus des Aufhebens, wörtlich: aufhebender Modus), eigentlich Modus tollendo tollens (in Abgrenzung zum Modus ponendo tollens) ist eine Schlussfigur, die auch in etlichen Kalkülen der klassischen Logik als Schlussregel verwendet wird.

Er besagt, dass aus den Voraussetzungen nicht B und Wenn A, dann B auf nicht A geschlossen werden kann.

Der Modus tollendo tollens ist damit ein Gegenstück zum Modus ponendo ponens.

Die Prämissen

A → B
¬B

lassen also die Conclusio

¬A

ziehen.

Der lateinische Name Modus tollendo tollens, „durch Aufheben aufhebende Schlussweise“ erklärt sich daraus, dass es sich um eine Schlussfigur (modus) handelt, die bei gegebener erster Prämisse, A → B, durch das „Aufheben“ (tollendo) des Satzes B, also durch das Setzen seiner Verneinung, ¬B, einen anderen Satz, nämlich A, ebenfalls „aufhebt“ (tollens), also zu seiner Verneinung, ¬A, führt.

Als Aussage[Bearbeiten]

Obwohl der Modus tollendo tollens eine Schlussregel, also ein metasprachliches Konzept ist, wird die Bezeichnung "Modus tollens" gelegentlich auch für objektsprachliche Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

(¬B ∧ (A → B)) → ¬A

Da aber Schlussregeln und Aussagen ganz unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich eher unglücklich, sie mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch und sollte normalerweise unterbleiben.

Beispiel[Bearbeiten]

Aus den Voraussetzungen Wenn es regnet, ist die Straße nass und Die Straße ist nicht nass lässt sich der logische Schluss Es regnet nicht ziehen. Hingegen ist die Schlussrichtung Die Straße ist nass, daher regnet es unzulässig und falsch.

Beweis[Bearbeiten]

Die logische Äquivalenz der Aussagen A → B und ¬B → ¬A folgt aus den Definitionen der Subjunktion und der Negation.

linke Seite:

A B A → B
f f w
f w w
w f f
w w w

rechte Seite:

A B ¬A ¬B ¬B → ¬A
f f w w w
f w w f w
w f f w f
w w f f w

Bedeutung des Modus tollens[Bearbeiten]

Nach dem Kritischen Rationalismus ist der Modus tollens die Grundlage der wissenschaftlichen Forschung. Dabei ist A eine abstrakte hypothetische Theorie, B ein Beobachtungssatz, der aus der Theorie folgt. Wissenschaftliche Experimente haben die Funktion, durch Beobachtung festzustellen, ob B wahr oder falsch ist. Ist B falsch, dann auch die ihm zugrundeliegende Theorie, diese ist dann falsifiziert.

Siehe auch[Bearbeiten]