Mohrscher Spannungskreis

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Bild 1: Mohrscher Kreis für 2D Spannungszustand\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Der Mohrsche Kreis oder auch Mohrsche Spannungskreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand eines Teilchens zu veranschaulichen oder zu untersuchen.

Dazu wird am Teilchen ein Freischnitt durchgeführt, wodurch der Schnittspannungsvektor t auf der Schnittfläche sichtbar wird. Dieser Spannungsvektor wird zerlegt in seinen Anteil t_n senkrecht zur Schnittfläche und seinen Anteil t_m parallel zur Schnittfläche. Abhängig vom Winkel \theta, unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare (t_n, t_m) berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohrsche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Teilchens.

Der Mohrsche Kreis kann auch zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors verwendet werden: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (x,y)-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohrschen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (n,m)-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das (n,m)-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel \theta aus dem (x,y)-Koordinatensystem hervorgeht.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohrschen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor. Und neben dem Mohrschen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Superquadriken oder Ellipsoide.

Um diesen Artikel vollständig verstehen zu können, benötigt man Kenntnisse in Trigonometrie, Technischer Mechanik, Linearer Algebra, Matrizenrechnung und Vektorrechnung.

Schnittspannungsvektor[Bearbeiten]

(x,y)-Komponenten[Bearbeiten]

Bild 2: Teilchen mit Spannung \sigma, Normalenvektor n, Schnittspannungsvektor t.

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor \sigma, welcher meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An einem Teilchen X und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist:


\begin{align}
t = \sigma \cdot n
\end{align}

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und "nach außen" zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische (x,y)-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalenvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x  \\ t_y  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x  \\  n_y  \\
\end{bmatrix}
\qquad \Leftrightarrow \qquad  
\begin{cases}
\begin{matrix}
t_x=\sigma_{xx}n_x + \tau_{xy}n_y
\\
t_y=\tau_{xy}n_x + \sigma_{yy}n_y
\end{matrix}
\end{cases}
\\
t^i &= \sigma^{ij} n_j
\end{align}

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer -n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vorn herein erfüllt, denn:


\begin{align}
t(n) &= \sigma \cdot n \\
t(-n) &= \sigma \cdot (-n) = -t(n)
\end{align}
Bild 3: Schnitte parallel zu Koordinatenflächen für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Komponenten von t lassen sich bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem für jede beliebige Schnittrichtung berechnen. Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Die 4 möglichen Schnitte parallel zu x=const oder y=const sind im Bild 3 dargestellt. Hierbei sind positive Schnittufer grün und negative rot. Aus der Zeichnung liest man folgenden Zusammenhang zwischen den Komponenten des Schnittspannungsvektors und den Komponenten des Spannungstensors ab:

Schnitt Normale n n_x n_y t_x=\sigma_{xx}n_x + \tau_{xy}n_y t_y=\tau_{xy}n_x + \sigma_{yy}n_y
x=const \color{magenta}\rightarrow 1 0 \sigma_{xx} \tau_{xy}
y=const \color{magenta}\uparrow 0 1 \tau_{xy} \sigma_{yy}
x=const \color{magenta}\leftarrow -1 0 -\sigma_{xx} -\tau_{xy}
y=const \color{magenta}\downarrow 0 -1 -\tau_{xy} -\sigma_{yy}


Die (x,y)-Komponenten des Schnittspannungsvektors lassen sich für diese 4 Schnittrichtungen also sehr leicht aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors bestimmen. Bei x=const am positiven Schnittufer (Bild 3 rechts, Normalenvektor zeigt nach rechts) gilt - wie man auch aus der letzten Tabelle abliest:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x^{\color{magenta}\rightarrow}  \\ t_y^{\color{magenta}\rightarrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx}\\
\tau_{xy}
\end{bmatrix}
\end{align}

Bei y=const am positiven Schnittufer (Bild 3 oben, Normalenvektor zeigt nach oben) gilt:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x^{\color{magenta}\uparrow}  \\ t_y^{\color{magenta}\uparrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\tau_{xy} \\
\sigma_{yy}
\end{bmatrix}
\end{align}

Am negativen Schnittufer bei x=const (links) gilt:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x^{\color{magenta}\leftarrow}  \\ t_y^{\color{magenta}\leftarrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
-\sigma_{xx}\\
-\tau_{xy}
\end{bmatrix}
\end{align}

Und am negativen Schnittufer bei y=const (unten) gilt:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x^{\color{magenta}\downarrow}  \\ t_y^{\color{magenta}\downarrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
-\tau_{xy} \\
-\sigma_{yy}
\end{bmatrix}
\end{align}

Die Komponenten des Spannungstensors lassen sich durch den eben dargestellten Zusammenhang zum Schnittspannungsvektor anschaulich als Kräfte pro Fläche interpretieren. Und der Mohrsche Kreis beschreibt, wie diese Kräfte von der Schnittrichtung abhängen.

(n,m)-Komponenten[Bearbeiten]

Bild 4: Parametrisierung: Zusammenhang zwischen (t_x, t_y) und (t_n, t_m) abhängig von \theta
Bild 5: (t_n, t_m) für 12 Schnittwinkel \theta am Beispiel \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Im Abschnitt #(x,y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das eingefrorene blaue (x,y)-Koordinatensystem angegeben. Jetzt werden die Komponenten von t bezogen auf ein von der Schnittrichtung abhängiges (n,m)-Koordinatensystem angegeben. Der Normalen-Einheitsvektor n, der die Schnittrichtung angibt, sei um den Winkel \theta gegenüber der x-Achse gedreht. Mit den Abkürzungen:


\begin{align}
   {\text{c}}_\theta &= \cos \theta &\qquad  {\text{s}}_\theta &= \sin \theta \\
   {\text{c}}_{2\theta} &= \cos (2\theta) &\qquad  {\text{s}}_{2\theta} &= \sin (2\theta)
\end{align}

sind die (x,y)-Komponenten der Einheitsvektoren n und m:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
n_x  \\  n_y  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_\theta  \\  {\text{s}}_\theta  \\
\end{bmatrix}
& \qquad
\begin{bmatrix}
m_x  \\  m_y  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
-{\text{s}}_\theta  \\  {\text{c}}_\theta  \\
\end{bmatrix}
\end{align}

Die Anteile von t in Richtung n bzw. m seien definiert als:


\begin{align}
t_n 
:&= t \cdot n \\
&= t_x n_x + t_y n_y \\
t_m :
&= t \cdot m \\
&= t_x m_x + t_y m_y \\
\end{align}

Die (x,y)-Komponenten von t hängen von den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors und von der Schnittrichtung n (und damit von \theta) ab. Weiterhin hängen auch die (x,y)-Komponenten von n und m von \theta ab. Durch das Einsetzen dieser Abhängigkeiten und mit Hilfe einfacher Umformungen

Umformungen

\begin{align}
t_n (\theta)
&= t_x {\text{c}}_\theta + t_y {\text{s}}_\theta\\
&= (\sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta + \tau_{xy}{\text{s}}_\theta  ) {\text{c}}_\theta+ (\tau_{xy} {\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta) {\text{s}}_\theta \\
&= \sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta^2 + 2 \tau_{xy}{\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta^2 \\
&= \sigma_{xx}  \tfrac{1+{\text{c}}_{2\theta}}{2} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}  + \sigma_{yy} \tfrac{1-{\text{c}}_{2\theta}}{2} \\
&= \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) + \tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\\
t_m (\theta)
&= - t_x {\text{s}}_\theta + t_y {\text{c}}_\theta \\
&= - (\sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta + \tau_{xy}{\text{s}}_\theta  ) {\text{s}}_\theta + (\tau_{xy} {\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta) {\text{c}}_\theta \\
&= - \sigma_{xx}  {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta + \tau_{xy}(- {\text{s}}_\theta^2 +  {\text{c}}_\theta^2)  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta \\
&= - ( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}) {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta + \tau_{xy}(- {\text{s}}_\theta^2 +  {\text{c}}_\theta^2)  \\
&= - ( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy})\tfrac12{\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}  \\
\end{align}

erhält man (siehe hierzu auch Bild 4):


\begin{align}
t_n (\theta) - \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy})
&= 
\tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\\
t_m (\theta)
&= - \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\end{align}

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohrschen Kreises. Für das Beispiel:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
-1 &  4  \\
 4  & 5  \\
\end{bmatrix}
\end{align}

sind diese Formeln im Bild 5 für 12 verschiedene Winkel ausgewertet. Dies ist nicht der Mohrsche Kreis, sondern eine Veranschaulichung der Formeln für t_n und t_m. Den Mohrschen Kreis erhält man, indem man t_m über t_n aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare (t_n, t_m) als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.

Für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen ist:

Schnitt \theta Normale n n_x n_y t_x t_y m_x m_y t_n=t_x n_x + t_y n_y t_m=t_x m_x + t_y m_y
x=const 0^\circ \color{magenta}\rightarrow 1 0 \sigma_{xx} \tau_{xy} 0 1 \sigma_{xx} \tau_{xy}
y=const 90^\circ \color{magenta}\uparrow 0 1 \tau_{xy} \sigma_{yy} -1 0 \sigma_{yy} -\tau_{xy}
x=const 180^\circ \color{magenta}\leftarrow -1 0 -\sigma_{xx} -\tau_{xy} 0 -1 \sigma_{xx} \tau_{xy}
y=const 270^\circ \color{magenta}\downarrow 0 -1 -\tau_{xy} -\sigma_{yy} 1 0 \sigma_{yy} -\tau_{xy}

Mohrscher Kreis[Bearbeiten]

Kreisgleichung[Bearbeiten]

Bild 6: Mohrscher Kreis für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\qquad, Punkte bei \theta = 0,30,60,90, 120,150 Grad, s. Bild 5

Aus den Gleichungen für t_n und t_m wird die Kreisgleichung des Mohrschen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:


\begin{align}
\left(
t_n - \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy})
\right)^2
&= 
\left(
\tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\right)^2
\\
t_m^2
&= 
\left(
- \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\right)^2
\end{align}

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:


\begin{align}
(t_n-a)^2 + (t_m-b)^2 &= R^2
\\
( t_n - \underbrace{\tfrac{1}{2} ( \sigma_{xx} + \sigma_{yy} )}_a )^2 + ( t_m^2 - \underbrace{0}_b)^2
&= 
\underbrace{\left(\tfrac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})\right)^2 + \tau_{xy}^2 }_{R^2}
\end{align}

Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises liegt bei:


\begin{align}
\left( t_n, t_m \right)
=\left(a,b\right)
&= \left( \tfrac{1}{2} ( \sigma_{xx} + \sigma_{yy}), 0 \right)
\end{align}

Und der Radius beträgt:


\begin{align}
R
&=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\end{align}

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen[Bearbeiten]

Bild 7: Freischnitte entlang der Hauptspannungsrichtungen und (n,m)-Komponenten von t für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponenten-Matrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:


\begin{align}
\det \left(
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} - \lambda &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \lambda \\
\end{bmatrix}
\right)
&=0
\end{align}

Einfache Umformungen

Umformungen

\begin{align}
(\sigma_{xx} - \lambda)(\sigma_{yy} - \lambda)- \tau_{xy}^2 &= 0\\
\lambda^2 - \lambda(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) + \sigma_{xx} \sigma_{yy}- \tau_{xy}^2 &= 0\\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})\pm\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})^2 - \sigma_{xx} \sigma_{yy}+ \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 + 2\sigma_{xx}\sigma_{yy})  - \sigma_{xx} \sigma_{yy}+ \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 - 2\sigma_{xx}\sigma_{yy}) + \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2  + \tau_{xy}^2} \\
\end{align}

führen auf:


\begin{align}
\lambda_{1/2}
&=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm R
\end{align}

so dass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der t_n-Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:


\begin{align}
\lambda_{1/2}
&=2 \pm 5
\end{align}

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall t_m=0 ist t parallel zum Normalenvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:


\begin{align}
0&= 
\left(
- \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\right)^2
\\
\tan(2\theta)
&=
\tfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_{xx}  - \sigma_{yy}}
\end{align}

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:


\begin{align}
\tan(2\theta)
&=
-\tfrac{4}{3}
\\
2\theta
&\approx
127^\circ, 307^\circ, \dots
\\
\theta
&\approx
63^\circ, 153^\circ, \dots
\end{align}

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu \lambda_1=7 gehörende Eigenvektor v_1 ist Lösung von:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} - \lambda_1 &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \lambda_1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_{1_x} \\ v_{1_y}
\end{bmatrix}
&=0
\\
\begin{bmatrix}
v_{1_x} \\ v_{1_y}
\end{bmatrix}
&= 
\alpha
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}
\end{align}

Die Hauptspannungsrichtung für \lambda_2 = -3 ergibt sich entsprechend zu:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
v_{2_x} \\ v_{2_y}
\end{bmatrix}
&=
\alpha
\begin{bmatrix}
2 \\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:


\begin{align}
\tan(\theta)
&=\tfrac{2}{1}
\\
\theta&\approx 63^\circ
\end{align}

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, so dass:


\begin{align}
\theta&\approx 63^\circ + 90^\circ = 153^\circ
\end{align}

Konstruktion und Auswertung des Mohrschen Kreises[Bearbeiten]

Bild 8: Mohrscher Kreis, Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen für Beispiel \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Konstruktion des Mohrschen Kreises geschieht wie in Bild 8 dargestellt nach folgendem Schema:

  1. Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte (t_n, t_m) und Eintragen der zwei Punkte
    • A  =\left(t_n( 0^\circ), t_m( 0^\circ)\right)=\left(\sigma_{xx}, \tau_{xy}\right)
    • B  =\left(t_n(90^\circ), t_m(90^\circ)\right)=\left(\sigma_{yy}, -\tau_{xy}\right)
  2. Verbinden der Punkte A und B durch eine Gerade (strich-punktierte Linie). Und Zeichnen eines Kreises durch Punkt A (oder B), dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Geraden mit der t_n-Achse ist.
  3. Eintragen der Punkte (\lambda_{1},0) und (\lambda_{2},0) und Verbinden dieser Punkte mit A (blaue bzw. rote gestrichelte Linie).

Die Auswertung des Mohrschen Kreises zeigt:

  1. Schnittrichtung / Schnittspannung: Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht einem Schnittwinkel \theta, nämlich dem Winkel zwischen der x-Achse und n. Die (n,m)-Komponenten des Spannungsvektors auf diesem Schnitt, also (t_n, t_m), sind gerade die Koordinaten des jeweiligen Punktes. In Bild 8 ist 0<\theta<180^\circ. Bei A ist \theta = 0^\circ, und bei B ist \theta = 90^\circ. Da der zu einem beliebigen Punkt passende Winkel auf dem Kreisbogen linear interpoliert werden kann, liest man diesen Winkel ab als die Hälfte des Winkels zwischen A und dem jeweiligen Punkt.
  2. Hauptspannungen/Hauptspannungsrichtungen: An den Schnittpunkten des Kreises mit der t_n-Achse sind die (n,m)-Komponenten der Spannungsvektoren (t_n, t_m)=(\lambda_{1},0) bzw. (t_n, t_m)=(\lambda_{2},0). Der Schnittspannungsvektor t ist an diesen Schnittpunkten also parallel zu n, und darum sind \lambda_{1} bzw. \lambda_{2} die Hauptspannungen. Die zugehörigen Hauptspannungsrichtungen sind festgelegt durch:
    • die Schnittwinkel \theta_1 bzw. \theta_2, d. h. die Hälfte der blau bzw. rot gekennzeichneten Winkel 2\theta_1 bzw. 2\theta_2, vgl. Bild 7 - oder
    • die blaue bzw. rote gestrichelte Linie, d. h. die Schnittrichtungen, vgl. Bild 7 - oder
    • den blauen bzw. roten Pfeil, d. h. die Eigenvektoren v_1 bzw. v_2, vgl. Bild 7.
  3. Größte Schubspannung: Der Radius des Kreises entspricht betragsmäßig der größten auftretenden Schubspannung. Der Winkel, unter dem diese Schubspannung auftritt, kann abgelesen werden.

Spezialfall: Wenn der Deviator-Anteil des Spannungstensors Null ist, entartet der Kreis zu einem Punkt.

Verwandte Themen[Bearbeiten]

Tensorkomponenten aus zwei Schnitten[Bearbeiten]

Bild 9: Spannungstensor-Komponenten  \sigma_{xx},\tau_{xy},\sigma_{yy} bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem; Spannungstensor-Komponenten \sigma_{nn},\tau_{nm},\sigma_{mm} bezogen auf das um \theta gedrehte (n,m)-Koordinatensystem für Beispiel \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Sei das (n,m)-Koordinatensystem um einen Winkel \theta gegenüber dem (x,y)-Koordinatensystem gedreht - aber in dieser Lage eingefroren, siehe Bild 9. Seien weiterhin die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf dieses feste (n,m)-Koordinatensystem  \sigma_{nn},\tau_{nm}=\tau_{mn},\sigma_{nn}. Dann gilt, wie im Abschnitt #(x,y)-Komponenten gezeigt, für einen Schnitt senkrecht zu n am positiven Schnittufer:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_n^{\color{magenta}\nearrow} \\ t_m^{\color{magenta}\nearrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn}\\
\tau_{nm}
\end{bmatrix}
\end{align}

Und für einen Schnitt senkrecht zu m am positiven Schnittufer:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_n^{\color{magenta}\nwarrow}  \\ t_m^{\color{magenta}\nwarrow}  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\tau_{nm}\\
\sigma_{mm}
\end{bmatrix}
\end{align}

Damit lassen sich aus t_n^{\color{magenta}\nearrow}, t_m^{\color{magenta}\nearrow}, t_m^{\color{magenta}\nwarrow} die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf das (n,m)-Koordinatensystem, nämlich \sigma_{nn}, \tau_{nm} und \sigma_{mm}, berechnen. Der Zusammenhang zu den oben verwendeten Symbolen t_n und t_m ist:


\begin{align}
t_n^{\color{magenta}\nearrow} &=t_n(\theta)\\
t_m^{\color{magenta}\nearrow} &=t_m(\theta)\\
t_n^{\color{magenta}\nwarrow} &= -t_m(\theta+\tfrac{\pi}{2})\\
t_m^{\color{magenta}\nwarrow} &= t_n(\theta+\tfrac{\pi}{2})\\
\end{align}

Denn die Komponenten ohne Pfeile sind definiert bezogen auf ein (n,m)-Koordinatensystem, was mit der Schnittrichtung mitgeführt ist. Und die Komponenten mit den Pfeilen sind bezogen auf das eingefrorene (n,m)-Koordinatensystem. Einsetzen liefert:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn}\\
\tau_{nm}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
t_n(\theta)\\ t_m(\theta)  \\
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
\tau_{nm}\\
\sigma_{mm}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
  -t_m(\theta+\tfrac{\pi}{2}) \\ t_n(\theta+\tfrac{\pi}{2})  \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
  t_m(\theta) \\ t_n(\theta+\tfrac{\pi}{2})  \\
\end{bmatrix}
\end{align}

Die letzten Formeln ermöglichen es, die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein um einen Winkel \theta gedrehtes Koordinatensystem zu berechnen. Die Funktionen t_n und t_m, die dazu verwendet werden, sind dieselben wie die zur Konstruktion des Mohrschen Kreises. Und darum kann man die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein gedrehtes Koordinatensystem auch aus dem Mohrschen Kreis ablesen, siehe hierzu Bild 9.

Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung[Bearbeiten]

Diese (n,m)-Komponenten des Spannungstensors lassen sich auch direkt aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors berechnen. Denn der Koordinatenwechsel von (x,y) auf (n,m) erzeugt folgende Transformationsbeziehung (auch Pushforward genannt) für die Komponenten des (2,0)-Spannungstensors:


\begin{align}
&
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn}    & \tau_{nm}\\
\tau_{nm} & \sigma_{mm} 
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & {\text{s}}_{\theta} \\
-{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & -{\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} & {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy} \\
-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} & -{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & -{\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
({\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy}){\text{c}}_{\theta} + ({\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{s}}_{\theta} & ({\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy})(-{\text{s}}_{\theta}) + ({\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{c}}_{\theta} \\
(-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy}){\text{c}}_{\theta} + (-{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{s}}_{\theta} & (-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy})(-{\text{s}}_{\theta}) + (-{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
(\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta} ){\text{c}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta} +  \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{s}}_{\theta} & - (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta}+  \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta}){\text{s}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta}+ \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{c}}_{\theta} \\
 - (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta}+  \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta}){\text{s}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta}+ \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{c}}_{\theta} & (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} + \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}}){\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} + (\tau_{xy}{\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} +\sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}}) {\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} \\
\end{bmatrix}
\end{align}

wobei als Abkürzungen verwendet wurden:


\begin{align}
{\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} &= \cos\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) =  - {\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} &= \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = {\text{c}}_{\theta} \\
\end{align}

Vergleich mit den Gleichungen für t_n und t_m aus Abschnitt #(n,m)-Komponenten liefert:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn}     & \tau_{nm}\\
\tau_{nm}& \sigma_{mm}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
t_n(\theta)  & t_m(\theta) \\
t_m(\theta)  & t_n\left(\theta+\tfrac{\pi}{2}\right)
\end{bmatrix}
\end{align}

Dieses Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis aus dem letzten Abschnitt, siehe hierzu auch Bild 9.

Multilineare Abbildung[Bearbeiten]

Der Spannungstensor ist eine Multilineare Abbildung derart, dass man definieren kann:


\begin{align}
t_n &:= \sigma(n,n) = n \cdot (\sigma \cdot n ) = n_i \sigma^{ij} n_j\\
t_m &:= \sigma(m,n) = m \cdot (\sigma \cdot n ) = m_i \sigma^{ij} n_j \\
\end{align}

Dies ist äquivalent zu den Definitionen weiter oben für t_n und t_m.

t_n und t_m sind physikalische Größen (Kraft pro Fläche in einer bestimmten Richtung). Und diese Größen müssen, weil sie Skalare sind, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein (Invarianz ggü. Koordinatenwechsel). Für Vektoren und Tensoren gilt entsprechend, dass sie sich unter Koordinatenwechsel auf eine ganz bestimmte Art transformieren. So gilt z. B. für den (2,0)-Spannungstensor bei einer Drehung des Koordinatensystems das Transformationsgesetz aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung.

Für die Skalare t_n und t_m muss in jedem Koordinatensystem gelten:


\begin{align}
t_n &= n_i \sigma^{ij} n_j = n_i t^i\\
t_m &= m_i \sigma^{ij} n_j = m_i t^i\\
\end{align}

Berechnet man t_n mit dieser Formel einerseits im (x,y)-Koordinatensystem und andererseits in einem beliebigen (n,m)-Koordinatensystem, so sieht man:


\begin{align}
t_n =
n_x(\sigma_{xx} n_x + \tau_{xy} n_y)  +   n_y (\tau_{xy} n_x + \sigma_{yy} n_y) 
&= 
n_n(\sigma_{nn} n_n + \tau_{xy} n_m)  +   n_m (\tau_{nm} n_n + \sigma_{mm} n_m) 
\\
\begin{bmatrix}
n_x & 
n_y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x\\
n_y
\end{bmatrix}
&= 
1 (\sigma_{nn}\cdot 1 + 0 )  +   0 (\tau_{nm}\cdot 1 + 0) 
\\
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_\theta & 
{\text{s}}_\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_\theta\\
{\text{s}}_\theta
\end{bmatrix}
&= 
\sigma_{nn}
\end{align}

wobei links die Berechnung im (x,y)-Koordinatensystem geschieht und rechts im (n,m)-Koordinatensystem.

Berechnet man t_m entsprechend, so sieht man:


\begin{align}
t_m =
m_x(\sigma_{xx} n_x + \tau_{xy} n_y)  +   m_y (\tau_{xy} n_x + \sigma_{yy} n_y) 
&= 
m_n(\sigma_{nn} n_n + \tau_{xy} n_m)  +   m_m (\tau_{nm} n_n + \sigma_{mm} n_m) 
\\
\begin{bmatrix}
m_x & 
m_y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x\\
n_y
\end{bmatrix}
&= 
0 +   1 (\tau_{nm}\cdot 1 + 0) 
\\
\begin{bmatrix}
-{\text{s}}_\theta &
{\text{c}}_\theta  
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_\theta\\
{\text{s}}_\theta
\end{bmatrix}
&= 
\tau_{nm}
\end{align}

Aus der Definition des Spannungstensors als Multilineare Abbildung und aus der Definition von t_n und t_m wie gezeigt, erkennt man den Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors und den Komponenten des Schnittspannungsvektors, nämlich t_n und t_m, als


\begin{align}
t_n &= \sigma_{nn}\\
t_m &= \tau_{nm}
\end{align}

Das bedeutet in Worten, dass die Normal-Komponente des Spannungstensors dem Normal-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht. Und dass die Schub-Komponente des Spannungstensors dem Schub-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht -- wenn die Komponenten des Spannungstensors auf das (n,m)-Koordinatensystem bezogen sind. Weiterhin erkennt man, dass die Forderung nach Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel bei Skalaren äquivalent ist zum Transformationsgesetz für den Spannungstensor aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung -- wenn der Koordinatenwechsel einer ebenen Drehung entspricht.

Programm zum Ausprobieren[Bearbeiten]

Bild 10: Plot einiger Paare (t_n, t_m), erzeugt mit nebenstehendem Programm

mit Matplotlib und NumPy

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import pi, sin, cos, array, transpose, dot
from numpy import radians, degrees, set_printoptions
 
 
#         [s_xx  t_xy ]     [-1  4 ]
#  S_xy = [           ]  =  [      ]
#         [t_xy  s_yy ]     [ 4  5 ]
 
# ---
# --- User input:
# ---
 
# 1: Stress tensor components:
(s_xx, s_yy, t_xy)  = (-1, 5, 4)
 
# 2: List of angles theta in degrees:
th_deg = array( [0., 30., 60., 90., 120., 150.] )
 
 
# ---
# --- Program output:
# ---
 
# theta   [ t_n, t_m ]
 
# 0.0     [-1.  4.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
# ...
 
# theta   [ s_nn, t_nm ]
#         [ t_nm, s_mm ]
 
# 0.0     [-1.  4.]
#         [ 4.  5.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
#         [ 4.6   0.04]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
#         [ 0.6  -2.96]
# ...
 
 
# ---
# --- Program:
# ---
 
# Matrix of components::
S_xy = array([ [ s_xx,  t_xy],
               [ t_xy,  s_yy] ])
 
# Yes
half = 0.5
two  = 2.0
 
# Some functions for later use:
def c2(th):
    """ computes cos(2 theta) """
    return cos(two*th)
 
def s2(th):
    """ computes sin(2 theta) """
    return sin(two*th)
 
def get_t_n(th):    
    """ 
    computes t_n(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_n = half*(s_xx + s_yy) + half*(s_xx - s_yy) * c2(th) + t_xy*s2(th)
    return t_n
 
def get_t_m(th):    
    """ 
    computes t_m(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_m = - half*(s_xx - s_yy) * s2(th) + t_xy * c2(th)
    return t_m
 
def get_t_nm(th):
    """ 
    computes pair (t_n, t_m) 
    """
    t_n = get_t_n(th)
    t_m = get_t_m(th)
    return array([t_n, t_m])
 
def get_R(th):
    """ 
    computes rotation matrix as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung" 
    """
    Rt = array([ [ cos(th),  sin(th)],
                 [-sin(th),  cos(th)] ] )
    return Rt
 
def get_S_nm(th):
    """ 
    computes S_nm = R * S_xy * R^T as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung" 
    """    
    R = get_R(th)
    R_T = R.transpose()
    S_nm = dot( dot(R, S_xy), R_T )
    return S_nm
 
 
# Compute and plot some pairs (t_n, t_m):
 
# theta in radians:
thetas = array( [ radians(a) for a in th_deg ] )
 
# for prettier printing:
set_printoptions(precision=2)
 
print ()
print ("theta   [ t_n, t_m ]")
print ()
for th in thetas:
    tn_tm = get_t_nm(th)
    print (degrees(th),"  ", tn_tm)
 
print ()
print ("theta   [ s_nn, t_nm ]")
print ("        [ t_nm, s_mm ]")
print ()
for th in thetas:
    S_nm = get_S_nm(th)
    print (degrees(th), "  ", S_nm[0])
    print ("       ",         S_nm[1])
 
 
# Now plot these pairs (t_n, t_m):
 
# theta --> t_n(theta):
t_n = list(map(get_t_n, thetas))
# theta --> t_m(theta):
t_m = list(map(get_t_m, thetas))
 
# color = theta in degrees:
color = degrees(thetas)
 
# make the circle be a circle:
plt.axis("equal")
 
# plot some colored points:
plt.scatter(t_n, t_m, s=100, c=color)
 
# add colorbar:
cbar = plt.colorbar()
 
# plt.clim(0,180.)
# add ticks to colorbar:
cbar.set_ticks(degrees(thetas))
 
# show plot:
plt.show()

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Mohr's circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien