Mohrscher Spannungskreis

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Bild 1: Mohrscher Kreis für 2D Spannungszustand\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{xy} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Der Mohrsche Kreis oder auch Mohrsche Spannungskreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand eines Teilchens zu veranschaulichen oder zu untersuchen.

Dazu wird am Teilchen ein Freischnitt durchgeführt, wodurch der Schnittspannungsvektor t auf der Schnittfläche sichtbar wird. Dieser Spannungsvektor wird zerlegt in seinen Anteil t_n senkrecht zur Schnittfläche und seinen Anteil t_m parallel zur Schnittfläche. Abhängig vom Winkel \theta, unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare (t_n, t_m) berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohrsche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Teilchens.

Der Mohrsche Kreis kann auch zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors verwendet werden: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (x,y)-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohrschen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (n,m)-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das (n,m)-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel \theta aus dem (x,y)-Koordinatensystem hervorgeht.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohrschen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor. Und neben dem Mohrschen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Superquadriken oder Ellipsoide.

Schnittspannungsvektor[Bearbeiten]

Bild 2: Teilchen mit Spannung \sigma, Normalenvektor, Schnittspannungsvektor.

Berechnung aus Spannungstensor[Bearbeiten]

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den Cauchy-Spannungstensor \sigma, welcher meist als (2,0)-Tensor-Feld definiert wird. An einem Teilchen X und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist:


\begin{align}
t = \sigma \cdot n
\end{align}

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und "nach außen" zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische (x,y)-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalenvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
t_x  \\ t_y  \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_x  \\  n_y  \\
\end{bmatrix}
\\
t^i &= \sigma^{ij} n_j
\end{align}

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer -n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vorn herein erfüllt, denn:


\begin{align}
t(n) &= \sigma \cdot n \\
t(-n) &= \sigma \cdot (-n) = -t(n)
\end{align}

(x,y)-Komponenten[Bearbeiten]

Bild 3: Schnitte parallel zu Koordinatenflächen für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Komponenten von t lassen sich bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem für jede beliebige Schnittrichtung berechnen. Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Die 4 möglichen Schnitte parallel zu x=const oder y=const sind im Bild 3 dargestellt. Hierbei sind positive Schnittufer grün und negative rot. Aus der Zeichnung liest man folgenden Zusammenhang zwischen den Komponenten des Schnittspannungsvektors und den Komponenten des Spannungstensors ab:

n-Richtung x y -x -y
t_x \sigma_{xx} \tau_{xy} -\sigma_{xx} -\tau_{xy}
t_y \tau_{xy} \sigma_{yy} -\tau_{xy} -\sigma_{yy}

Die (x,y)-Komponenten des Schnittspannungsvektors lassen sich für diese 4 Schnittrichtungen also sehr leicht aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors bestimmen: An den positiven Schnittufern (auf den Koordinatenflächen) sind die Komponenten des Spannungstensors zugleich die Komponenten des Schnittspannungsvektors. An den negativen Schnittufern sind die mit minus Eins multiplizierten Komponenten des Spannungstensors zugleich die Komponenten des Schnittspannungsvektors.

(n,m)-Komponenten[Bearbeiten]

Bild 4: Parametrisierung: Zusammenhang zwischen (t_x, t_y) und (t_n, t_m) abhängig von \theta
Bild 5: (t_n, t_m) für 12 Schnittwinkel \theta am Beispiel \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Im Abschnitt #(x,y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das blaue (x,y)-Koordinatensystem angegeben. Jetzt werden die Komponenten von t bezogen auf das von der Schnittrichtung abhängige magentarote (n,m)-Koordinatensystem angegeben.

Der Normalen-Einheitsvektor n, der die Schnittrichtung angibt, sei um den Winkel \theta gegenüber der x-Achse gedreht. Mit den Abkürzungen:


\begin{align}
   {\text{c}}_\theta &= \cos \theta &\qquad  {\text{s}}_\theta &= \sin \theta \\
   {\text{c}}_{2\theta} &= \cos (2\theta) &\qquad  {\text{s}}_{2\theta} &= \sin (2\theta)
\end{align}

sind die (x,y)-Komponenten der Einheitsvektoren n und m:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
n_x  \\  n_y  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_\theta  \\  {\text{s}}_\theta  \\
\end{bmatrix}
& \qquad
\begin{bmatrix}
m_x  \\  m_y  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
-{\text{s}}_\theta  \\  {\text{c}}_\theta  \\
\end{bmatrix}
\end{align}

Die Anteile von t in Richtung n bzw. m seien definiert als:


\begin{align}
t_n 
:&= t \cdot n \\
&= t_x n_x + t_y n_y \\
t_m :
&= t \cdot m \\
&= t_x m_x + t_y m_y \\
\end{align}

Die (x,y)-Komponenten von t hängen von den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors und von der Schnittrichtung n (und damit von \theta) ab. Weiterhin hängen auch die (x,y)-Komponenten von n und m von \theta ab. Durch das Einsetzen dieser Abhängigkeiten und mit Hilfe einfacher Umformungen

Umformungen

\begin{align}
t_n (\theta)
&= t_x {\text{c}}_\theta + t_y {\text{s}}_\theta\\
&= (\sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta + \tau_{xy}{\text{s}}_\theta  ) {\text{c}}_\theta+ (\tau_{xy} {\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta) {\text{s}}_\theta \\
&= \sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta^2 + 2 \tau_{xy}{\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta^2 \\
&= \sigma_{xx}  \tfrac{1+{\text{c}}_{2\theta}}{2} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}  + \sigma_{yy} \tfrac{1-{\text{c}}_{2\theta}}{2} \\
&= \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) + \tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\\
t_m (\theta)
&= - t_x {\text{s}}_\theta + t_y {\text{c}}_\theta \\
&= - (\sigma_{xx}  {\text{c}}_\theta + \tau_{xy}{\text{s}}_\theta  ) {\text{s}}_\theta + (\tau_{xy} {\text{c}}_\theta  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta) {\text{c}}_\theta \\
&= - \sigma_{xx}  {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta + \tau_{xy}(- {\text{s}}_\theta^2 +  {\text{c}}_\theta^2)  + \sigma_{yy} {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta \\
&= - ( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}) {\text{s}}_\theta{\text{c}}_\theta + \tau_{xy}(- {\text{s}}_\theta^2 +  {\text{c}}_\theta^2)  \\
&= - ( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy})\tfrac12{\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}  \\
\end{align}

erhält man (siehe hierzu auch Bild 4):


\begin{align}
t_n (\theta) - \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy})
&= 
\tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\\
t_m (\theta)
&= - \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\end{align}

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohrschen Kreises. Für das Beispiel:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
&= 
\begin{bmatrix}
-1 &  4  \\
 4  & 5  \\
\end{bmatrix}
\end{align}

sind diese Formeln im Bild 5 für 12 verschiedene Winkel ausgewertet. Dies ist nicht der Mohrsche Kreis, sondern eine Veranschaulichung der Formeln für t_n und t_m. Den Mohrschen Kreis erhält man, indem man t_m über t_n aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare (t_n, t_m) als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan. Für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen ist:

\theta 0^\circ 90^\circ 180^\circ 270^\circ
n-Richtung x y -x -y
m-Richtung y -x -y x
n_x 1 0 -1 0
n_y 0 1 0 -1
m_x 0 -1 0 1
m_y 1 0 -1 0
t_x \sigma_{xx} \tau_{xy} -\sigma_{xx} -\tau_{xy}
t_y \tau_{xy} \sigma_{yy} -\tau_{xy} -\sigma_{yy}
t_n=t_x n_x + t_y n_y \sigma_{xx} \sigma_{yy} \sigma_{xx} \sigma_{yy}
t_m=t_x m_x + t_y m_y \tau_{xy} -\tau_{xy}  \tau_{xy} -\tau_{xy}

Mohrscher Kreis[Bearbeiten]

Kreisgleichung[Bearbeiten]

Bild 6: Mohrscher Kreis für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\qquad, Winkel \theta = 0,30,60,90,120,150

Quadrieren und Addieren der Gleichungen für t_n und t_m liefert eine Kreisgleichung. Quadrieren liefert zunächst:


\begin{align}
\left(
t_n - \tfrac12(\sigma_{xx} + \sigma_{yy})
\right)^2
&= 
\left(
\tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy}){\text{c}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{2\theta}
\right)^2
\\
t_m^2
&= 
\left(
- \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\right)^2
\end{align}

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:


\begin{align}
(t_n-a)^2 + (t_m-b)^2 &= R^2
\\
( t_n - \underbrace{\tfrac{1}{2} ( \sigma_{xx} + \sigma_{yy} )}_a )^2 + ( t_m^2 - \underbrace{0}_b)^2
&= 
\underbrace{\left(\tfrac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})\right)^2 + \tau_{xy}^2 }_{R^2}
\end{align}

Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises ist bei:


\begin{align}
\left( t_n, t_m \right)
=\left(a,b\right)
&= \left( \tfrac{1}{2} ( \sigma_{xx} + \sigma_{yy}), 0 \right)
\end{align}

Und der Radius ist:


\begin{align}
R
&=\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})\right)^2 + \tau_{xy}^2}
\end{align}

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen[Bearbeiten]

Bild 7: Freischnitte entlang der Hauptspannungsrichtungen und Komponenten der Schnittspannungsvektoren bezogen auf das jeweilige (n,m)-Koordinatensystem für Beispiel\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Hauptspannungen lassen sich aus dem Mohrschen Kreis ablesen. Denn die charakteristische Gleichung


\begin{align}
\det \left(
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} - \lambda &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \lambda \\
\end{bmatrix}
\right)
&=0
\end{align}

führt nach einfachen Umformungen

Umformungen

\begin{align}
(\sigma_{xx} - \lambda)(\sigma_{yy} - \lambda)- \tau_{xy}^2 &= 0\\
\lambda^2 - \lambda(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) + \sigma_{xx} \sigma_{yy}- \tau_{xy}^2 &= 0\\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})\pm\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy})^2 - \sigma_{xx} \sigma_{yy}+ \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 + 2\sigma_{xx}\sigma_{yy})  - \sigma_{xx} \sigma_{yy}+ \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx}^2 + \sigma_{yy}^2 - 2\sigma_{xx}\sigma_{yy}) + \tau_{xy}^2} \\
\lambda_{1/2} &=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm
\sqrt{\tfrac14 (\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2  + \tau_{xy}^2} \\
\end{align}

auf:


\begin{align}
\lambda_{1/2}
&=\tfrac12 (\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) \pm R
\end{align}

so dass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der t_n-Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:


\begin{align}
\lambda_{1/2}
&=2 \pm 5
\end{align}

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall t_m=0 ist t parallel zum Normalenvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:


\begin{align}
0&= 
\left(
- \tfrac12( \sigma_{xx}  - \sigma_{yy}){\text{s}}_{2\theta} + \tau_{xy}{\text{c}}_{2\theta}
\right)^2
\\
\tan(2\theta)
&=
\tfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_{xx}  - \sigma_{yy}}
\end{align}

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:


\begin{align}
\tan(2\theta)
&=
-\tfrac{4}{3}
\\
2\theta
&\approx
127^\circ, 307^\circ, \dots
\\
\theta
&\approx
63^\circ, 153^\circ, \dots
\end{align}

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu \lambda_1=7 gehörende Eigenvektor v_1 ist Lösung von:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} - \lambda_1 &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} - \lambda_1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_{1_x} \\ v_{1_y}
\end{bmatrix}
&=0
\\
\begin{bmatrix}
v_{1_x} \\ v_{1_y}
\end{bmatrix}
&= 
\alpha
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}
\end{align}

Die Hauptspannungsrichtung für \lambda_2 = -3 ergibt sich entsprechend zu:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
v_{2_x} \\ v_{2_y}
\end{bmatrix}
&=
\alpha
\begin{bmatrix}
2 \\ -1
\end{bmatrix}
\end{align}

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:


\begin{align}
\tan(\theta)
&=\tfrac{2}{1}
\\
\theta&\approx 63^\circ
\end{align}

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, so dass:


\begin{align}
\theta&\approx 63^\circ + 90^\circ = 153^\circ
\end{align}

Konstruktion und Auswertung des Mohrschen Kreises[Bearbeiten]

Bild 8: Konstruktion des Mohrschen Kreises für \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

Die Konstruktion des Mohrschen Kreises geschieht wie in Bild 8 dargestellt nach folgendem Schema:

  1. Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte (t_n, t_m).
  2. Eintragen der zwei Punkte
    • A  =\left(t_n( 0^\circ), t_m( 0^\circ)\right)=\left(\sigma_{xx}, \tau_{xy}\right)
    • B  =\left(t_n(90^\circ), t_m(90^\circ)\right)=\left(\sigma_{yy}, -\tau_{xy}\right)
  3. Verbinden der Punkte A und B durch eine Gerade (strich-punktierte Linie). In der Mitte dieser Gerade auf der t_n-Achse ist der Kreismittelpunkt.
  4. Kreis zeichnen um den Mittelpunkt und durch Punkt A (oder B).
  5. Verbinden von:
    • (\lambda_{1},0) mit A (blaue gestrichelte Linie).
    • (\lambda_{2},0) mit A (rote gestrichelte Linie).

Spezialfall: Wenn der Deviator-Anteil des Spannungstensors Null ist, entartet der Kreis zu einem Punkt.

Die Auswertung des Mohrschen Kreises zeigt:

  • Schnittrichtung / Schnittspannung: Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht einer Schnittrichtung/Schnittfläche \theta. Die (m,n)-Komponenten des Spannungsvektors auf dieser Schnittfläche, also (t_n, t_m), sind gerade die "Koordinaten" des jeweiligen Punktes. In der Skizze liegt der Schnittwinkel zwischen 0 und 180 Grad. Bei Punkt A ist er 0 Grad, bei Punkt B ist er 90 Grad. Und bei weiterer Zählung im Uhrzeigersinn gelangt man erneut zu Punkt A bei 180 Grad. Der zu einem beliebigen Punkt passende Winkel kann auf dem Kreisbogen linear interpoliert werden. Man liest den Schnittwinkel für einen Punkt also ab als die Hälfte des Winkels zwischen A und dem jeweiligen Punkt.
  • Hauptspannungen: Die Schnittpunkte des Kreises mit der Horizontalen sind die Hauptspannungen \lambda_{1/2}. Die (n,m)-Komponenten der Spannungsvektoren sind dort (t_n, t_m)=(\lambda_{1},0) bzw. (t_n, t_m)=(\lambda_{2},0).
  • Die Hauptspannungsrichtungen sind die zu \theta_1 und \theta_2 gehörigen Schnittrichtungen - gekennzeichnet durch die blaue gestrichelte Linie zwischen Punkt A und (\lambda_1,0) bzw. durch die rote gestrichelte Linie zwischen A und (\lambda_2,0). Die Normalen auf diesen Schnittlinien sind die Eigenvektoren v_1 bzw. v_2 (blauer bzw. roter Pfeil), siehe hierzu auch Bild 7.
  • Größte Schubspannung: Der Radius des Kreises entspricht betragsmäßig der größten auftretenden Schubspannung. Der Winkel, unter dem diese Schubspannung auftritt, kann abgelesen werden.

Verwandte Themen[Bearbeiten]

Koordinatenwechsel[Bearbeiten]

Bild 9: Spannungstensor-Komponenten  \sigma_{xx},\tau_{xy},\sigma_{yy} bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem; Spannungstensor-Komponenten \sigma_{nn},\tau_{nm},\sigma_{mm} bezogen auf das um \theta gedrehte (n,m)-Koordinatensystem für Beispiel \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \tau_{yx} &  \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

t_n und t_m sind die (n,m)-Komponenten des Schnittspannungsvektors für einen Schnitt mit Normale n. Gleichzeitig sind es auch Komponenten des Spannungstensors bezogen auf das (n,m)-Koordinatensystem. Denn der Koordinatenwechsel von (x,y) auf (n,m) erzeugt folgende Transformationsbeziehung (auch Pushforward genannt) für die Komponenten des (2,0)-Spannungstensors:


\begin{align}
&
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn} (\theta)    & \tau_{nm} (\theta)\\
\tau_{mn} (\theta)& \sigma_{mm} (\theta)
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & {\text{s}}_{\theta} \\
-{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy}  \\
\tau_{xy}  & \sigma_{yy}  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & -{\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} & {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy} \\
-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} & -{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\text{c}}_{\theta}  & -{\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta}  & {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
({\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy}){\text{c}}_{\theta} + ({\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{s}}_{\theta} & ({\text{c}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{s}}_{\theta} \tau_{xy})(-{\text{s}}_{\theta}) + ({\text{c}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{s}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{c}}_{\theta} \\
(-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy}){\text{c}}_{\theta} + (-{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{s}}_{\theta} & (-{\text{s}}_{\theta} \sigma_{xx} + {\text{c}}_{\theta} \tau_{xy})(-{\text{s}}_{\theta}) + (-{\text{s}}_{\theta} \tau_{xy} + {\text{c}}_{\theta} \sigma_{yy}) {\text{c}}_{\theta} \\
\end{bmatrix}
\\
=
&
\begin{bmatrix}
(\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta} + \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta} ){\text{c}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta} +  \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{s}}_{\theta} & - (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta}+  \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta}){\text{s}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta}+ \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{c}}_{\theta} \\
 - (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta}+  \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta}){\text{s}}_{\theta} + (\tau_{xy} {\text{c}}_{\theta}+ \sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta}) {\text{c}}_{\theta} & (\sigma_{xx} {\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} + \tau_{xy}{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}}){\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} + (\tau_{xy}{\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} +\sigma_{yy}{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}}) {\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} \\
\end{bmatrix}
\end{align}

wobei als Abkürzungen verwendet wurden:


\begin{align}
{\text{c}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} &= \cos\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) =  - {\text{s}}_{\theta} \\
{\text{s}}_{\theta+\tfrac{\pi}{2}} &= \sin\left(\theta + \tfrac{\pi}{2}\right) = {\text{c}}_{\theta} \\
\end{align}

Vergleich mit den Gleichungen für t_n und t_m aus Abschnitt #(n,m)-Komponenten liefert:


\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{nn} (\theta)    & \tau_{nm} (\theta)\\
\tau_{mn} (\theta)& \sigma_{mm} (\theta)
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
t_n(\theta)  & t_m(\theta) \\
t_m(\theta)  & t_n\left(\theta+\tfrac{\pi}{2}\right)
\end{bmatrix}
\end{align}

D.h. die Komponenten des Schnittspannungsvektors t_n bzw. t_m sind auch die transformierten Komponenten des Spannungstensors \sigma_{nn} bzw. \tau_{nm}. Und die transformierte Komponente \sigma_{mm} liest man ab als t_n bei \theta+\tfrac{\pi}{2}. Dieser Zusammenhang ist im Bild 9 dargestellt.

Multilineare Abbildung[Bearbeiten]

Der Spannungstensor ist eine Multilineare Abbildung derart, dass:


\begin{align}
t_n &= \sigma(n,n) = (\sigma \cdot n )\cdot n =\sigma^{ij}n_i n_j\\
t_m &= \sigma(n,m) = (\sigma \cdot n )\cdot m = \sigma^{ij}n_i m_j \\
\end{align}

Dies ist äquivalent zu den Gleichungen für t_n und t_m.

Literatur[Bearbeiten]

Links[Bearbeiten]