Moivrescher Satz

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Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) x und jede natürliche Zahl n der Zusammenhang

\left( \cos x + i\,\sin x \right)^n = \cos\left( n\,x\right) + i\,\sin\left(n\,x\right)

gilt.[1]

Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre[2], der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand.[3]

Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck \cos x + i\,\sin x kann auch verkürzt als \operatorname{cis}\,x dargestellt werden.

Ableitung[Bearbeiten]

Der Moivresche Satz kann von der Eulerformel

e^{i\,x} = \cos x + i\,\sin x

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

\left(e^{i\,x} \right)^n = e^{i\,n\,x}

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

(\cos\varphi+i\,\sin\varphi)\cdot(\cos\psi+i\,\sin\psi) = \cos(\varphi+\psi)+i\,\sin(\varphi+\psi)

per vollständiger Induktion.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Wenn

z,w\in\mathbb{C}

dann ist

\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w

eine mehrwertige Funktion aber nicht

\cos\left(w\,z\right)+i\,\sin\left(w\,z\right).

Dadurch gilt

\cos\left(w\,z\right) + i\,\sin\left(w\,z\right) \in 
\{\left(\cos z+i\,\sin z\right)^w\}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 - Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900 - 1903).
  •  Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-72479-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kerner und Wahl (2007), S. 70
  2. Braunmühl (1971), Teil 2 S. 75
  3. Braunmühl (1971), Teil 2 S. 78