Momentanpol

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Bei einem mit Rädern angetriebenen Objekt müssen sich alle Achsen im Momentanpol M treffen, damit eine Bewegung möglich ist. Als rote Pfeile sind die Geschwindigkeitsvektoren der Hinterachsräder eingezeichnet.

Bei einem Momentanpol handelt es sich um eine Bezeichnung aus der Kinematik. Durch die Bestimmung des Momentanpols ist es möglich, einen Bewegungszustand eines bewegten starren Körpers, der eine Überlagerung aus einer Translation und einer Rotation ist, in jedem Augenblick als reine Drehung um einen Punkt, den Momentanpol, aufzufassen und so analytisch als einfache Drehung zu behandeln.

Ein Momentanpol existiert nur bei einer (momentan) ebenen und nicht rein translatorischen Bewegung, bei der die Drehachse des rotatorischen Bewegungsanteils senkrecht zur Schwerpunktsgeschwindigkeit des Körpers ist. Im folgenden wird daher eine Bewegung in der Ebene betrachtet. Bei einer reinen Rotation ist die Geschwindigkeit jedes Punktes senkrecht zur Drehachse und zur Verbindung dieses Punktes mit der Drehachse (Drehachse, Verbindungslinie und Geschwindigkeitsvektor sind paarweise orthogonal). So lässt sich umgekehrt der Momentanpol bestimmen, wenn von zwei Punkten die Geschwindigkeiten bekannt sind. Wenn beide Geschwindigkeiten in Betrag und Richtung gleich sind, handelt es sich um eine reine Translation und der Momentanpol ist nicht definiert. Wenn die beiden Geschwindigkeitsrichtungen nicht parallel sind, wie bei den beiden Vorderrädern im Bild, dann lässt sich der Momentanpol bestimmen, indem die Senkrechten zu den Geschwindigkeitsrichtungen in den Punkten errichtet werden. Der Schnittpunkt der Senkrechten ist dann gleich der Lage des Momentanpols. Wenn keine reine Translation vorliegt und die Geschwindigkeiten beider Körperpunkte trotzdem parallel sind, so wie bei den Hinterrädern im Bild, dann führt die Verbindungslinie beider Punkte durch den Momentanpol und die Geschwindigkeiten der beiden Punkte sind senkrecht zu ihrer Verbindungslinie. Dann kann der Momentanpol dadurch bestimmt werden, dass die Geschwindigkeitsvektoren in den Punkten aufgetragen und eine Gerade durch die Spitzen dieser Vektoren gezeichnet wird. Diese Gerade schneidet die Verbindungsgerade der Körperpunkte im Momentanpol. Alternativ zu dieser Konstruktion kann die Lage des Momentanpols auch berechnet werden, siehe Rastpolkurve.

Werden die während einer Bewegung auftretenden Momentanpole markiert, entsteht im raumfesten Bezugssystem die Rastpolkurve und im Bezugssystem des bewegten Körpers die Gangpolkurve. Die Gangpolkurve rollt auf der Rastpolkurve ab.

Definition[Bearbeiten]

Jede Starrkörperbewegung lässt sich in eine Translation und eine Rotation zerlegen. Die Translation wird mit dem zeitabhängigen Drehzentrum \vec{s}(t) vorgegeben, für das sich jeder bewegte (oder auch ruhende) Punkt und auch der Schwerpunkt des Starrkörpers eignet. Die Rotation erfolgt um eine Drehachse, die in Richtung des Drehgeschwindigkeitsvektors \vec{\omega}(t) weist und dessen Frobeniusnorm die Drehgeschwindigkeit angibt. Die Geschwindigkeit eines an einem Ort \vec{x} befindlichen Partikels ist bei einer Starrkörperbewegung mit

\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) + \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr)

gegeben. Das Rechenzeichen „ד bildet das Kreuzprodukt und \dot{\vec{s}}(t) ist die Geschwindigkeit des Drehzentrums. Der Momentanpol ist nun ein Raumpunkt \vec{m}(t), um den sich das Geschwindigkeitsfeld momentan als reine Drehung darstellt:

\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) + \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{s}(t)\bigr)
\stackrel{\displaystyle !}{=} \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)\,.

Mit diesem Punkt sind auch alle Punkte auf der Geraden \vec{m}+\lambda\vec{\omega} mit \lambda\in\R Momentanpole. Skalare Multiplikation der Geschwindigkeit mit dem Drehgeschwindigkeitsvektor offenbart

\vec{v}(\vec{x},t)\cdot\vec{\omega}(t) = \dot{\vec{s}}(t)\cdot\vec{\omega}(t)
= \vec{\omega}(t)\cdot\left[\vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)\right] =0\,,

d. h. die Geschwindigkeit des Drehzentrums muss senkrecht zur Drehachse sein, damit es einen Momentanpol geben kann. Momentan muss die Bewegung mithin – wie eingangs erwähnt – eine ebene sein.

Wenn die Drehgeschwindigkeit verschwindet, dann ist die Geschwindigkeit wegen \vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t) nicht vom Ort abhängig und daher gleichförmig. Die Definitionsgleichung

\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)\stackrel{\displaystyle !}{=} \vec{0}\times\bigl(\vec{x}-\vec{m}(t)\bigr)=\vec{0}

enthält dann gar keine Definition mehr und der Momentanpol ist mithin nicht definiert.


Paradoxon des sich bewegenden Momentanpols[Bearbeiten]

Der Momentanpol ist von der Zeit abhängig und kann daher durch den Raum wandern. Andererseits verschwindet jederzeit die Geschwindigkeit im Momentanpol:

\vec{v}(\vec{m}(t),t) = \vec{\omega}(t)\times\bigl(\vec{m}(t)-\vec{m}(t)\bigr)=\vec{0}\,,

was auch namensgebend für den Momentanpol ist. Wie kann sich also etwas bewegen, das stillsteht?

Die Ursache dieses scheinbaren Widerspruchs liegt in der Identifikation eines Partikels mit dem Raumpunkt, an dem es sich befindet. Das Geschwindigkeitsfeld \vec{v}(\vec{x},t) gibt die Geschwindigkeit eines sich im Ort \vec{x} befindlichen Partikels an und entsprechend ist \vec{v}(\vec{m},t) die Geschwindigkeit des im Momentanpol stillstehenden Partikels. Der Momentanpol ist aber nicht das Partikel, sondern nur der geometrische Ort, an dem sich das Partikel befindet. Der Momentanpol ist – genauso wie das Drehzentrum oder die Drehachse – ein Parameter der Bewegung, der ein geometrisches Objekt angibt. Der Momentanpol verweist wie ein Zeiger auf einen Raumpunkt und an diesem Raumpunkt herrscht, sofern sich dort etwas befindet, Stillstand. Dieser Raumpunkt muss auch nicht notwendigerweise im Starrkörper liegen. Der Momentanpol ist also nicht an Partikel gebunden und kann flüssig durch die Ebene schweifen trotzdem ein Partikel im Momentanpol, vielleicht nur kurzzeitig, anhält.

In der klassischen Mechanik ist der Raum absolut, unveränderlich und unbeeinflusst von den physikalischen Vorgängen und entsprechend können sich Raumpunkte nur im mathematischen Sinn bewegen aber nicht im mechanischen. Während sich also die Partikel im mechanischen Sinn bewegen, bewegt sich der Momentanpol im mathematischen. Er ist eine Funktion der Zeit, die einen Raumpunkt ausgibt. Im Allgemeinen sind zu jedem Zeitpunkt – wenn überhaupt – andere Partikel am Ort des Momentanpols. Eine Folge von Momentanpolen bei einer Bewegung ist somit eine Alternative zur paradoxen Vorstellung eines sich bewegenden Momentanpols.

Alle Partikel des Starrkörpers, die jemals in einem Momentanpol zu stehen kommen, liegen auf der Gangpolbahn während die Rastpolbahn die Menge aller Raumpunkte ist, die irgendwann Momentanpol sind. Die Gangpolbahn rollt deshalb schlupflos auf der Rastpolbahn ab.

Beispiel: Rollendes Rad[Bearbeiten]

Beispiel Rad: Momentanpol (M hier M=A) an einem Rad, welches an einem Fahrzeug montiert ist

Das im Bild gezeigte Rad an einem Fahrzeug besitzt aus Sicht der Kinematik mehrere Eigenschaften, wenn man es entlang der gestrichelten Linie durch das Drehzentrum (Z) und den Aufstandspunkt (A) betrachtet:

  • Da es am Fahrzeug befestigt ist, nimmt es an dessen translatorischer Bewegung teil. Dieser Anteil wird durch die Geschwindigkeitspfeile (T) entlang der Linie (L) dargestellt.
  • Ein Beobachter im Zentrum (Z) sieht, dass sich das Rad (im Gegensatz zum Fahrzeug) zusätzlich um dieses Zentrum (Z) dreht. Dieser Anteil wird durch die Pfeile (R) der Tangentialgeschwindigkeiten entlang der Linie (L) dargestellt.
  • Solange das Rad abrollt, hat es im Aufstandspunkt (A) die Geschwindigkeit 0, denn die Straße steht und das Rad rutscht an diesem Punkt nicht über die Straße und schlupft in dieser idealisierten Betrachtung auch nicht.

Die Überlagerung der Geschwindigkeiten (R) und (T) sowie die Bedingung, dass der Punkt am Rad, der gerade Aufstandspunkt (A) auf der stehenden Straße ist, selbst auch stehen muss, macht den Aufstandspunkt (A) gleichzeitig zum Momentanpol (M) der Radbewegung.

Die rechte Darstellung zeigt, wie man mit Hilfe des Momentanpols (M) an vier beispielhaft gewählten Punkten A-D die momentane Geschwindigkeit ermitteln kann: Sie ist das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit ω um den Momentanpol (M, dieselbe Winkelgeschwindigkeit wie um Z) und dem Abstand des jeweiligen Punktes (im Beispiel A...D) vom Momentanpol (M). Sucht man beispielsweise den Punkt des Rades, der vom Momentanpol am weitesten entfernt ist, so hat man den Punkt mit der höchsten Geschwindigkeit gefunden.

Die Rastpolkurve ist in diesem Beispiel die Straße, denn aus Sicht eines Beobachters an der Straße liegen alle Momentanpole auf der Fahrbahn. Die Gangpolkurve ist aus Sicht eines Beobachters auf dem Rad der Umfang.

Der Momentanpol soll nun auch berechnet werden. Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem mit zueinander senkrechten x-, y- und z-Richtungen und zugehöriger Standardbasis \vec{e}_{x,y,z}. Die x-Achse stellt die Straße dar, auf der das Rad im Ursprung der x-y-Ebene zur Zeit t=0 beginnt zu rollen. Das Rad besitze den Radius R und eine gleichförmige Drehgeschwindigkeit \vec{\omega}=-\omega\vec{e}_z und rollt auf der x-Achse somit in positive x-Richtung. Der Achsmittelpunkt befindet sich dann in der Höhe R über der x-Achse und soll sich parallel zur x-Achse bewegen. Aus Sicht des Achsmittelpunktes hat ein auf dem Radumfang befindliches Partikel P die Geschwindigkeit \omega\, R und dieselbe Geschwindigkeit hat der Achsmittelpunkt umgekehrt aus der Sicht dieses Partikels P. Der Aufstandpunkt A des Rades auf der x-Achse ist ein solches Partikel. Der Achsmittelpunkt \vec{s}(t) und seine Geschwindigkeit sind entsprechend mit

\vec{s}(t) = \omega R t \vec{e}_x + R \vec{e}_y
\quad\rightarrow\quad
\dot{\vec{s}}(t) = \omega R \vec{e}_x

gegeben. Das Geschwindigkeitsfeld lautet mithin:

\begin{array}{rcl}
\vec{v}(x,y,t)
&=&
\omega R \vec{e}_x - \omega\vec{e}_z\times(x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \omega R t \vec{e}_x - R \vec{e}_y)
=
-\omega\vec{e}_z\times(R\vec{e}_y + x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \omega R t \vec{e}_x - R \vec{e}_y)
\\
&=&
-\omega\vec{e}_z\times(x\vec{e}_x + y\vec{e}_y - \underbrace{\omega R t \vec{e}_x}_{=\vec{m}(t)})
\end{array}

woraus also sofort \vec{m}(t)=\omega R t \vec{e}_x folgt. Das ergibt sich auch mit der im Artikel zur Rastpolbahn angegebenen Formel:

\begin{array}{rcl}
x_M = x_S - \frac{v_{Sy}}{\omega}
&\rightarrow&
x_M= \omega R t - \frac{0}{-\omega} = \omega R t
\\
y_M = y_S + \frac{v_{Sx}}{\omega} 
&\rightarrow&
y_M= R + \frac{\omega R}{-\omega} = 0
\end{array}

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]