Multiindex

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In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem Multiindex zusammen. Verallgemeinert man Formeln von einer Veränderlichen auf mehrere Veränderliche, zum Beispiel von Potenzreihen in einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Formal gesehen ist ein Multiindex \boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) ein Tupel natürlicher Zahlen.

Konventionen der Multiindex-Schreibweise[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt seien \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1 , \ldots , \alpha_n),\ \boldsymbol{k} = (k_1, \ldots , k_n),\ \boldsymbol{\ell} = (\ell_1, \ldots , \ell_n) \in \N^n_0 jeweils n-Tupel natürlicher Zahlen. Für die Multiindex-Schreibweise werden üblicherweise die folgenden Konventionen vereinbart:

\begin{array}{ccl}
\boldsymbol{k}=\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1=\ell_1 \; , \; \ldots \; ,\; k_n=\ell_n \\\\
\boldsymbol{k}\le\boldsymbol{\ell} & \iff & k_1\le\ell_1\; ,\; \ldots\; ,\; k_n\le\ell_n \\\\
\boldsymbol{k}+\boldsymbol{\ell} & := & (k_1+\ell_1 \; ,\; \ldots \; ,\; k_n+\ell_n) \\\\
\boldsymbol{k}! & := & k_1!\cdots k_n! \\\\
{\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} & := & \frac{\boldsymbol{\alpha}!}{(\boldsymbol{\alpha-k})!\,\boldsymbol{k}!}={\alpha_1 \choose k_1}\cdots {\alpha_n \choose k_n} \\\\
|\boldsymbol{k}| & := & k_1+\cdots+k_n \\\\
\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} & := & x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} \\\\
\boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} & := & D_1^{k_1}\cdots D_n^{k_n}\,,
\end{array}

wobei \boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^n und \boldsymbol{D} einen Differentialoperator bezeichnet.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Potenzreihe[Bearbeiten]

Eine Mehrfachpotenzreihe \sum_{k_1 \ge 0} \cdots \sum_{k_n\ge 0} a_{k_1,\ldots,k_n} (z_1-z_1^o)^{k_1} \cdots (z_n-z_n^o)^{k_n} lässt sich kurz schreiben als \sum_{\boldsymbol{k}\ge 0} a_{\boldsymbol{k}} (\boldsymbol{z}-\boldsymbol{z}^o)^{\boldsymbol{k}}.

Potenzfunktion[Bearbeiten]

Ist \boldsymbol{x}\in\Bbb{R}^n und sind \boldsymbol{k},\boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n, so gilt \boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!}
=\frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}}{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})!} und \boldsymbol{D}^{\boldsymbol{k}} \frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!}=\frac{|\boldsymbol{x}|^{m-|\boldsymbol{k}|}}{(m-|\boldsymbol{k}|)!}.

Geometrische Reihe[Bearbeiten]

Für -\boldsymbol{1}<\boldsymbol{x}<\boldsymbol{1} gilt \sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}=\frac{1}{(\boldsymbol{1}-\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{1}}}, wobei \boldsymbol{1}=(1,\ldots,1) ist.

Binomischer Lehrsatz[Bearbeiten]

Sind \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\Bbb{C}^n und ist \boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n, so gilt (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} 
{\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}} \boldsymbol{y}^{\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}} bzw. \frac{(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\boldsymbol{m}}}{\boldsymbol{m}!}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}
\frac{\boldsymbol{y}^{\boldsymbol{j}}}{\boldsymbol{j}!}.

Multinomialtheorem[Bearbeiten]

Für \boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb{R}^n und m\in\Bbb{N} ist (x_1+\cdots+x_n)^m=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} {m \choose k_1,\ldots,k_n} x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} bzw. \frac{(x_1+\cdots+x_n)^m}{m!}=\sum_{k_1+\cdots+k_n=m} \frac{x_1^{k_1}}{k_1!} \cdots \frac{x_n^{k_n}}{k_n!}, was sich kurz schreiben lässt als \frac{|\boldsymbol{x}|^m}{m!}
=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}.

Leibniz-Regel[Bearbeiten]

Ist \boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n und sind f,g \colon \R^n \to \R m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt

(fg)^{(\boldsymbol{m})}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}} {\boldsymbol{m} \choose \boldsymbol{k}} f^{(\boldsymbol{k})} g^{(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{k})}

beziehungsweise

\frac{(fg)^{(\boldsymbol{m})}}{\boldsymbol{m}!}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}} \frac{f^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!} 
\frac{g^{(\boldsymbol{j})}}{\boldsymbol{j}!}.

Diese Identität heißt Leibniz-Regel.

Und sind f_1,\ldots,f_n \colon \R \to \R m-mal stetig differenzierbare Funktionen, so ist

\frac{(f_1\cdots f_n)^{m}}{m!}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} \frac{\boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}}{\boldsymbol{k}!},

wobei \boldsymbol{f}^{(\boldsymbol{k})}=(f_1,\ldots,f_n)^{\big((k_1),\ldots,(k_n)\big)}=f_1^{(k_1)}\cdots f_n^{(k_n)} ist.

Cauchy-Produkt[Bearbeiten]

Für Mehrfachpotenzreihen f(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} a_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}} \; , \; g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0} b_{\boldsymbol{\ell}} \, \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}} gilt f(\boldsymbol{z})\, g(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{\ell}|\ge 0}
\left(\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{\ell}} a_{\boldsymbol{k}} \, b_{\boldsymbol{j}} \right) \boldsymbol{z}^{\boldsymbol{\ell}}.

Sind f_1(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{1\ell} z^{\ell} \; , \; \ldots \; , \; f_n(z)=\sum_{\ell=0}^\infty a_{n\ell} z^{\ell} Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt f_1(z)\cdots f_n(z)
=\sum_{\ell=0}^\infty \left(\sum_{|\boldsymbol{k}|=\ell} a_{\boldsymbol{k}}\right) z^\ell, wobei a_{\boldsymbol{k}} = a_{1k_1} \cdots a_{nk_n} ist.

Exponentialreihe[Bearbeiten]

Für \boldsymbol{z}=(z_1,...,z_n)\in\Bbb{C}^n gilt e^{|\boldsymbol{z}|}
=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \frac{\boldsymbol{z}^{\boldsymbol{k}}}{\boldsymbol{k}!}.

Binomische Reihe[Bearbeiten]

Sind \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{x}\in\Bbb{C}^n und sind alle Komponenten von \boldsymbol{x} betragsmäßig <1\,, so gilt (\boldsymbol{1}+\boldsymbol{x})^{\boldsymbol{\alpha}}=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0}
{\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}} \, \boldsymbol{x}^{\boldsymbol{k}}.

Vandermondesche Konvolution[Bearbeiten]

Ist \boldsymbol{m}\in\Bbb{N}^n und sind \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in\Bbb{C}^n, so gilt {\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}}=\sum_{\boldsymbol{k}\le \boldsymbol{m}}
{\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}}  {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{m}-\boldsymbol{k}}
=\sum_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{j}=\boldsymbol{m}}
{\boldsymbol{\alpha}\choose \boldsymbol{k}}  {\boldsymbol{\beta}\choose \boldsymbol{j}}.

Ist m\in\Bbb{N} und \boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\Bbb{C}^n, so gilt {|\boldsymbol{\alpha}| \choose m}=\sum_{|\boldsymbol{k}|=m} {\boldsymbol{\alpha} \choose \boldsymbol{k}}.


Cauchysche Integralformel[Bearbeiten]

In mehreren Veränderlichen z_1,\ldots,z_n\, lässt sich die cauchysche Integralformel

\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(z_1,\ldots,z_n)}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^n}
\oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n

kurz schreiben als

a_{\boldsymbol{k}}:=\frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z})}{\boldsymbol{k}!}=\frac{1}{(2\pi i)^{\boldsymbol{1}}} 
\oint_{\partial \boldsymbol{U}} \frac{f(\boldsymbol{\xi})}{(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{z})^{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{1}}} \, \boldsymbol{d\xi},

wobei \partial \boldsymbol{U}=\partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung |a_{\boldsymbol{k}}|\le \tfrac{M}{\boldsymbol{r}^{\boldsymbol{k}}}, wobei \textstyle M=\max_{\boldsymbol{\xi}\in\partial\boldsymbol{U}} |f(\boldsymbol{k})| ist.

Taylor-Reihe[Bearbeiten]

Ist f:\Bbb{R}^n\to\Bbb{R} eine analytische Funktion oder f:\Bbb{C}^n\to\Bbb{C} eine holomorphe Abbildung, so kann man diese Funktion in eine Taylor-Reihe

f(\boldsymbol{z})=\sum_{|\boldsymbol{k}|\ge 0} \frac{D^{\boldsymbol{k}} f(\boldsymbol{z}^o)}{\boldsymbol{k}!} (z-z^o)^{\boldsymbol{k}}

entwickeln, wobei \boldsymbol{k} ein Multiindex ist.

Hurwitz-Identität[Bearbeiten]

Für x,y\in\Bbb{C} mit x\neq 0 und \boldsymbol{a}=(a_1,...,a_n)\in\Bbb{C}^n gilt (x+y)^n=\sum_{\boldsymbol{0}\le\boldsymbol{k}\le\boldsymbol{1}} x\, (x+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{|\boldsymbol{k}|-1}\, (y-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{k})^{n-|\boldsymbol{k}|}.

Dies verallgemeinert die Abelsche Identität (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\, x\, (x+ak)^{k-1}\, (y-ak)^{n-k}.

Letztere erhält man im Fall \boldsymbol{a}=(a,a,...,a).

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.