Multilinearform

Eine $p$-Multilinearform $\omega$ ist in der Mathematik eine Funktion, die $p$ Argumenten $v_i \in V_i,\; i\in\{1,\ldots,p\}$ aus $K$-Vektorräumen $V_1, \ldots, V_p$ einen Wert $\omega(v_1,\ldots,v_p) \in K$ zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

Definition

Eine Abbildung

$\begin{align} \omega:\ V_1\times \cdots \times V_p & \rightarrow K \\ (v_1,\ldots,v_p) \ & \mapsto \omega\left(v_1,\dots,v_p\right) \end{align}$

heißt Multilinearform, wenn für alle $v_j \in V_j, j \in \{1, \ldots, p\}$ und alle $i \in \{1, \ldots, p\}$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle $\lambda \in K$ gilt

$\omega\left(v_1,\ldots,\lambda \;v_i,\ldots,v_p\right) = \lambda \;\omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)$

und für alle $w \in V_i$

$\omega\left(v_1,\ldots,v_i+w,\ldots,v_p\right) = \omega\left(v_1,\ldots,v_i,\ldots,v_p\right)+\omega\left(v_1,\ldots,w,\ldots,v_p\right)$.

Die Menge aller multilinearen Abbildungen $\mathcal{J}^p(V_1, \ldots, V_p)$ bildet einen $K$-Vektorraum. Im Fall $V_1 = \cdots = V_p =: V$ schreibt man $\mathcal{J}^p(V) := \mathcal{J}^p(V, \ldots, V)$.

Alternierende Multilinearformen

Eine Multilinearform $\omega \in \mathcal{J}^p(V)$ heißt alternierend, falls sie Null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d.h.

$\omega\left(\dots,v,\dots,v,\dots\right)= 0$

für alle $v \in V$.

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

$\omega\left(v_1,\dots,v_i,\dots,v_j,\dots,v_p\right)= -\omega\left(v_1,\dots,v_j,\dots,v_i,\dots,v_p\right)$

für alle $v_k \in V,\; k \in \{1,\ldots,p\}$ und $i,j \in \{1,\ldots,p\},\; i \neq j$. Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist, also zum Beispiel für $K = \mathbb{R}$.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen $\Omega^p(V)$ ist ein Untervektorraum von $\mathcal{J}^p(V)$. Außerdem lässt sich auf dieser Menge die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra. Wichtig ist der Spezialfall $\ p = \dim V$. Dann ist $\Omega^p(V)$ ein 1-dimensionaler Unterraum von $\mathcal{J}^p(V)$, und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

Beispiele

1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von $K$ nicht 2 ist).
3. Bildet man aus $n$ Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also $\omega$ definiert durch
   $\omega\left(v_1,v_2,v_3\right):= \det\begin{pmatrix} v_{1x} & v_{2x} & v_{3x} \\ v_{1y} & v_{2y} & v_{3y} \\ v_{1z} & v_{2z} & v_{3z} \end{pmatrix}$
   eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren $v_1,v_2,v_3$ folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
   $v_1=\begin{pmatrix} v_{1x} \\ v_{1y} \\ v_{1z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_2=\begin{pmatrix} v_{2x} \\ v_{2y} \\ v_{2z} \end{pmatrix} ,\quad\quad v_3=\begin{pmatrix} v_{3x} \\ v_{3y} \\ v_{3z} \end{pmatrix}$.
4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume $V_i$ identisch sind (also $V_i=V$), ist die $p$-Multilinearform auch ein kovarianter Tensor $p$-ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden $p$-Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren $p$-ter Stufe.
5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.