Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet (auch $\vec{\nabla}$ oder $\underline \nabla$, um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen). Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Definition

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren $\textstyle\frac\partial{\partial x_i}$ sind:

$\vec\nabla = \left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots, \frac\partial{\partial x_n}\right)$

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilen-Vektor (zum Beispiel div) auftreten. Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

$\vec\nabla = \left(\frac\partial {\partial x}, \frac\partial {\partial y}, \frac\partial {\partial z}\right) = \vec e_x \frac\partial {\partial x} + \vec e_y \frac\partial {\partial y} + \vec e_z \frac\partial {\partial z}$

Dabei sind $\vec e_x$, $\vec e_y$ und $\vec e_z$ die Einheitsvektoren des Koordinatensystems.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von $\textstyle\frac\partial{\partial x_i}$ mit einer rechts davon stehenden Funktion $f$ als partielle Ableitung $\textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i}$ interpretiert wird.

Darstellung anderer Differentialoperatoren

Im n-dimensionalen Raum

Sei $D \subset \mathbb R^n$ eine offene Teilmenge, $f \colon D \to \R$ eine differenzierbare Funktion und $\vec{V} = (V_1, \dots, V_n)^\top \colon D \to \R^n$ ein differnzierbares Vektorfeld.

Das (formale) Produkt von $\vec\nabla$ mit der Funktion $f$ ergibt deren Gradienten

$\vec\nabla f = \operatorname{grad} f = \left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top \,.$

Das (formale) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld $\vec V$ ergibt dessen Divergenz

$\vec\nabla \cdot \vec V = \operatorname{div} \vec{V} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V_i}{\partial x_i} \,.$

Das (formale) Skalarprodukt $\nabla^2$ von $\nabla$ mit sich selbst ergibt den Laplace-Operator $\Delta$, denn es gilt

$\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} = \Delta\,.$

Im dreidimensionalen Raum

Sei $D \subset \mathbb R^3$ nun eine offene Teilmenge, $f \colon D \to \R$ eine differenzierbare Funktion und $\vec{V} = (V_1, V_2 , V_3)^\top \colon D \to \R^3$ ein differnzierbares Vektorfeld. Im dreidimensionalen Raum $\R^3$ mit den kartesischen Koordinaten $x$, $y$, $z$ stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld $f$ ergibt den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname{grad}f = \vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)^\top = \frac{\partial f}{\partial x} \vec e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\,.$

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind $\vec e_x,\, \vec e_y,\, \vec e_z$ die Einheitsvektoren des $\R^3$.

Der Nabla-Operator angewandt auf das Vektorfeld $\vec{V}$ ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname{div}\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = \frac{\partial V_1}{\partial x} + \frac{\partial V_2}{\partial y} + \frac{\partial V_3}{\partial z},$

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als

$\operatorname{rot}\vec{V} = \vec{\nabla} \times \vec{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_3}{\partial y} - \frac{\partial V_2}{\partial z} \\ \frac{\partial V_1}{\partial z} - \frac{\partial V_3}{\partial x} \\ \frac{\partial V_2}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial y} \end{pmatrix}\,,$

also wieder ein Vektorfeld.

Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion $f(\vec{r},t)$ mit $\vec{r}=(x_1, x_2, ..., x_n)$ beispielsweise ist

$\vec\nabla_{\vec{r}} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$

im Gegensatz zu

$\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, \frac{\partial{f}}{\partial t}\right)$.

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d.h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind $\psi,~\varphi$ und $f$ Skalarfelder (Funktionen) und $\vec A$ und $\vec B$ Vektorfelder, so gilt:

$\vec\nabla f(r)=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\frac{\vec r}{r} =\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\vec e_r$ (Kugelsymmetrisches Feld)

$\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi \$ (Produktregel für Gradient)

$\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)$

$\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)$

$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=\Delta\varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

$\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=0$

$\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{grad\ }\varphi)=0$

$\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times \vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi$

$\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B$

$\vec\nabla\times (\vec\nabla\times \vec A)=\operatorname{rot\ }(\operatorname{rot\ }\vec A)=\operatorname{grad\ }(\operatorname{div\ }\vec A) -\Delta\vec A$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Literatur

•  Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
•  Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3540555307 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
•  Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).