Neunerlemma

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Das Neunerlemma, wegen der Struktur des unten abgebildeten Diagramms auch 3x3-Lemma genannt, ist eine mathematische Aussage über kommutierende Diagramme und exakte Folgen, die sowohl für jede abelsche Kategorie als auch für die Kategorie der Gruppen gültig ist.

Aussage[Bearbeiten]

Ist (in einer abelschen Kategorie oder der Kategorie der Gruppen) das Diagramm

Nine lemma.png

kommutativ und sind alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt, so ist auch die obere Zeile exakt. Ebenso gilt: Sind alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt, so ist auch die untere Zeile exakt.[1]

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis erfolgt durch Diagrammjagd, zunächst unter der Annahme, dass das Diagramm die Kategorie der Gruppen betrifft. Der Einfachheit halber seien alle horizontalen Abbildungen mit h, alle vertikalen mit v bezeichnet. Das neutrale Element der Gruppen heiße jeweils e. Der Beweis zeigt die typische Eigenschaft von Diagrammjagden, dass der schriftliche Beweis zwar aus lauter trivialen Einzelschritten besteht, die zusammen jedoch verwirrend oder unmotiviert wirken - erst wenn man die Schritte am Diagramm nachverfolgt, werden die Zusammanhänge einleuchtend.

Seien zunächst alle Spalten sowie die unteren beiden Zeilen exakt.

  • Ist a_1\in A_1 mit h(a_1)=e, so h(v(a_1))=v(h(a_1))=v(e)=e. Hieraus folgt mit der Injektivität von h\colon A_2\to B_2 auch v(a_1)=0 und mit der von v\colon A_1\to A_2 schließlich a_1=e.
  • Ist a_1\in A_1, so ist v(h(h(a_1))) = h(h(v(a_1))) = e, also h(h(a_1))=e.
  • Ist b_1\in B_1 mit h(b_1)=e, so h(v(b_1))=v(h(b_1))=e, also v(b_1)=h(a_2) für ein a_2\in A_2. Aus h(v(a_2))=v(h(a_2))=v(v(b_1))=e folgt auch v(a_2)=e, also a_2=v(a_1) für ein a_1 \in A_1. Dann ist v(h(a_1))=h(v(a_1))=h(a_2)=v(b_1), woraus bereits b_1=h(a_1) folgt.
  • Ist c_1\in C_1, so gibt es ein b_2\in B_2 mit h(b_2)=v(c_1). Wegen h(v(b_2))=v(h(b_2))=v(v(c_1))=e gibt es ein a_3\in A_3 mit h(a_3)=v(b_2). Weiter gibt es ein a_2\in A_2 mit v(a_2)=a_3, also v(h(a_2))=h(v(a_2))=h(a_3)=v(b_2). Somit unterscheiden sich h(a_2) und b_2 um v(b_1) für ein geeignetes b_1\in B_1, d. h. es gilt b_2 = v(b_1)\cdot h(a_2). Dann ist v(c_1) = h(b_2) = h(v(b_1)\cdot h(a_2))=h(v(b_1))\cdot h(h(a_2)) = h(v(b_1)) = v(h(b_1)) und schließlich auch c_1 = h(b_1).

Alle Punkte zusammen zeigen die Exaktheit der ersten Zeile.

Seien jetzt alle Spalten sowie die oberen beiden Zeilen exakt.

  • Ist c_3\in C_3, so c_3=v(c_2) für ein c_2\in C_2 und dann c_2=h(b_2) für ein b_2\in B_2, jeweils per Surjektivität von v\colon C_2\to C_3 bzw. h\colon B_2\to C_2. Dann ist h(v(b_2))=v(h(b_2))=c_3.
  • Ist a_3\in A_3, so a_3=v(a_2) für ein a_2\in A_2. Dann h(h(a_3))=h(h(v(a_2)))=v(h(h(a_2)))=v(e)=e.
  • Ist b_3\in B_3 mit h(b_3)=e und wählen wir ein b_2\in B_2 mit v(b_2)=b_3, so v(h(b_2))=h(v(b_2))=h(b_3)=e, also h(b_2)=v(c_1) für ein c_1\in C_1. Weiter c_1=h(b_1) für ein b_1\in B_1. Dann ist h(v(b_1))=v(h(b_1))=v(c_1)=h(b_2), also b_2=v(b_1)\cdot h(a_2) für ein a_2\in A_2. Schließlich ist h(v(a_2))=v(h(a_2)) = v(v(b_1))\cdot v(h(a_2)) = v(v(b_1)\cdot h(a_2)) = v(b_2) = b_3.
  • Ist a_3\in A_3 mit h(a_3)=e und wählen wir a_2\in A_2 mit v(a_2)=a_3, so v(h(a_2))=h(v(a_2))=h(a_3)=e, also h(a_2)=v(b_1) für ein b_1\in B_1. Es ist v(h(b_1))=h(v(b_1))=h(h(a_2))=e, daher bereits h(b_1)=e. Folglich b_1=h(a_1) für ein a_1\in A_1. Aus h(v(a_1)) = v(h(a_1))=v(b_1)=h(a_2) folgt bereits a_2=v(a_1) und somit a_3=v(a_2)=v(v(a_1))=e.

Zusammen ergibt dies wiederum die Exaktheit der letzten Zeile.

Der zunächst für Gruppen durchgeführte Beweis gilt (ggf. in additive Schreibweise übersetzt) ebenso für abelsche Gruppen oder auch für Moduln über einem Ring. Durch den Einbettungssatz von Mitchell ist dies aber bereits ausreichend, um das Neunerlemma für alle abelschen Kategorien zu beweisen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Kapitel II, Lemma 5.1 (The 3x3-Lemma)