Newton-Cotes-Formeln

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Newton-Cotes-Formel für n=2

Eine Newton-Cotes-Formel (nach Isaac Newton und Roger Cotes) ist eine numerische Quadraturformel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen. Diesen Formeln liegt die Idee zu Grunde, die zu integrierende Funktion durch ein Polynom zu interpolieren und dieses als Näherung exakt zu integrieren. Die Stützstellen der Interpolation werden dabei äquidistant gewählt.

Herleitung[Bearbeiten]

Für das zu integrierende Interpolationspolynom p_n(x) vom Grad n werden die Stützstellen

a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b

äquidistant mit dem konstanten Abstand h=x_{i+1} - x_i so gewählt, dass sie symmetrisch zur Intervallmitte \tfrac{a+b}{2} des Integrationsintervalls [a,b] liegen. Somit gilt x_{n-i}=a+b-x_i.

Mit x_0=a (und somit x_n=b) erhält man n Intervalle der Länge h und somit h=\tfrac{b-a}{n} und x_i=a+i\cdot h. Diese Formeln werden abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln genannt.

Mit x_0\ne a (und somit x_n\ne b) erhält man offene Quadratur-Formeln:

  • Wählt man x_0=a+h (und somit x_n=b-h), erhält man n+2 Intervalle der Länge h und somit h=\tfrac{b-a}{n+2} und x_i=a+(1+i)\cdot h. Diese Formeln werden offene Newton-Cotes-Formeln genannt.
  • Wählt man x_0=a+\tfrac{h}{2} (und somit x_n=b-\tfrac{h}{2}), erhält man n+1 Intervalle der Länge h und somit h=\tfrac{b-a}{n+1} und x_i=a+(\tfrac{1}{2}+i)\cdot h. Diese Formeln werden Maclaurin-Formeln genannt.

Zur numerischen Integration von \int_a^b f(x) dx nehmen wir das Interpolationspolynom p_n(x) der Funktion f(x) zu den gegebenen Stützstellen. Für dieses gilt

 p_n(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) L_{in}(x),

wobei  L_{in} die Lagrange-Polynome sind. Daraus folgt

 \int_a^b p_n(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n f(x_i) \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx.

Definition[Bearbeiten]

Für die Newton-Cotes-Formel folgt dann

\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b p_n(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)

mit den Gewichten

w_i = \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx

Die Gewichte sind symmetrisch, das heißt w_{n-i}=w_i.

L_{in}(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}
{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}.

Wegen der speziellen Wahl der Stützstellen integrieren die Quadraturformeln bei ungeradem n Polynome bis zum Grad n, bei geradem n sogar bis zum Grad n+1 exakt. Somit sind Quadraturformeln mit geradem n (also einer ungeraden Anzahl an Stützstellen) denen mit ungeradem n vorzuziehen. Diese Eigenschaft nennt man auch den Genauigkeitsgrad der Quadraturformel.

Speziell gilt für f(x)=1, dass \int_a^b f(x) dx = \int_a^b 1 dx = b-a= (b-a) \sum_{i=0}^n w_i\cdot 1=(b-a)\sum_{i=0}^n w_i und somit \sum_{i=0}^n w_i=1.

Falls \sum_{i=0}^n |w_i|>\sum_{i=0}^n w_i=1, was bei Gewichten mit verschiedenen Vorzeichen der Fall ist, besteht die Gefahr, dass sich die Rundungsfehler aufschaukeln oder Auslöschung eintritt. Daher sind aus numerischen Gründen Quadraturformeln mit positiven Gewichten zu bevorzugen. Da für großes n das Interpolationspolynom  p_n(x) unbrauchbar ist, sind ebenso Quadraturformeln mit großem n nicht empfehlenswert. Will man bessere Näherungen erreichen, so empfiehlt sich die Verwendung von summierten Quadraturformeln.

E(f) = \int_a^b f(x) dx - \int_a^b p_n(x) dx

ist der Fehler (Verfahrensfehler), der bei der Anwendung der Quadraturformel gemacht wird. Dieser hat bei der speziellen Wahl der Stützstellen für p+1-mal auf [a,b] stetig differenzierbar reellwertige Funktionen f(x) immer die Form

E(f)=K\cdot f^{(p+1)}(\xi),

wobei K eine von f(x) unabhängige Konstante und \xi\in[a,b] ein nur in Ausnahmefällen bekannter Zwischenwert ist. Wäre er generell bekannt, könnte man E(f) und somit auch das Integral exakt ausrechnen, im Widerspruch zu der Tatsache, dass man die meisten Integrale nicht exakt berechnen kann. Der Fehler ist Null für alle Funktionen, deren p+1-te Ableitung Null ist, also für alle Polynome vom Grad kleiner/gleich p. Somit ist p der Genauigkeitsgrad der Quadraturformel. Der Wert p+1 wird auch als (polynomiale) Ordnung der Quadraturformel bezeichnet.

Mit Hilfe des Verfahrensfehlers erhält die Fehlerabschätzung:

|E(f)|\le |K|\cdot \max_{a\le \xi \le b}|f^{(p+1)}(\xi)|.

Der exakte Fehler ist immer kleiner/gleich als diese Fehlerabschätzung, wie auch die unten angegebenen Beispiele zeigen.

Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln[Bearbeiten]

Die angegebenen Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: t_0=0,t_i=\frac{i}{n},t_n=1. Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen x_i=a+t_i\cdot(b-a).

n Name Stützstellen t_i Gewichte w_i E(f)
1 Trapezregel
Sehnentrapezregel
0 \quad 1 \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2} -\frac{(b-a)^3}{12} f''(\xi)
2 Simpsonregel
Keplersche Fassregel
0 \quad \frac{1}{2} \quad 1 \frac{1}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{1}{6} -\frac{(\frac{b-a}{2})^5}{90} f^{(4)}(\xi)
3 3/8 - Regel
Pulcherrima
0 \quad \frac{1}{3} \quad \frac{2}{3} \quad 1 \frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{1}{8} -\frac{3(\frac{b-a}{3})^5}{80} f^{(4)}(\xi)
4 Milne-Regel
Boole-Regel
0 \quad \frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4} \quad 1 \frac{7}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{12}{90} \quad \frac{32}{90} \quad \frac{7}{90} -\frac{8(\frac{b-a}{4})^7}{945} f^{(6)}(\xi)
5 6-Punkt-Regel 0 \quad \frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5} \quad 1 \frac{19}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{50}{288} \quad \frac{75}{288} \quad \frac{19}{288} -\frac{275(\frac{b-a}{5})^7}{12096} f^{(6)}(\xi)
6 Weddle-Regel 0 \quad \frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6} \quad 1 \frac{41}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{272}{840} \quad \frac{27}{840} \quad \frac{216}{840} \quad \frac{41}{840} -\frac{9(\frac{b-a}{6})^9}{1400} f^{(8)}(\xi)

Für n = 8 gilt w_i<0 für i = 2,4,6 und \textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=1.45.... Für n = 10 gilt \sum_{i=0}^n |w_i|=3.064709...

Beispiel: \int_1^3 \frac{1}{x}\, dx = \ln(3)-\ln(1) = \ln(3) = 1.0986123\dots

Näherung mit Simpson-Regel (n = 2). Es gilt h=\frac{b-a}{n}=\frac{2}{2}=1 und x_0=a=1.

\int_1^3 p_2(x) dx = 2\cdot\bigg(\frac{1}{6}f(1)+\frac{4}{6}f(2)+\frac{1}{6}f(3)\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{1}{6}\cdot1+\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}\bigg)=\frac{10}{9}=1.\overline {1}.

Verfahrensfehler: Mit f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5} erhält man E(f)=-\frac{1}{90}\cdot\bigg(\frac{2}{2}\bigg)^5\cdot\frac{4!}{\xi^5}=-\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{\xi^5} mit \xi \in [1,3].

Fehlerabschätzung: |E(f)|\le \frac{4}{15}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}\left|\frac{1}{\xi^5}\right|=\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{1}=0.2\overline{6}.

Exakter Fehler: |E(f)|=\left|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x)\, dx\right|=|1.0986123\dots - 1.\overline {1}|=0.0124988\dots < 0.2\overline{6}.

Offene Newton-Cotes-Formeln[Bearbeiten]

Die Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: t_0=\tfrac{1}{n+2},t_i=\tfrac{i+1}{n+2},t_n=\tfrac{n+1}{n+2}. Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen x_i=a+t_i\cdot(b-a).

n Name Stützstellen x_i Gewichte w_i E(f)
0 Rechteckregel
Mittelpunktsregel
Tangententrapezregel
\frac{1}{2}  1 \quad \frac{(b-a)^{3}}{24} f^{''}(\xi)
1 \frac{1}{3} \quad \frac{2}{3} \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2} \frac{(\frac{b-a}{3})^3}{4} f^{''}(\xi)
2 \frac{1}{4} \quad \frac{2}{4} \quad \frac{3}{4} \frac{2}{3} \quad -\frac{1}{3} \quad \frac{2}{3} \frac{14(\frac{b-a}{4})^5}{45} f^{(4)}(\xi)
3 \frac{1}{5} \quad \frac{2}{5} \quad \frac{3}{5} \quad \frac{4}{5} \frac{11}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{1}{24} \quad \frac{11}{24} \frac{95(\frac{b-a}{5})^5}{144} f^{(4)}(\xi)
4 \frac{1}{6} \quad \frac{2}{6} \quad \frac{3}{6} \quad \frac{4}{6} \quad \frac{5}{6} \frac{11}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{26}{20} \quad -\frac{14}{20} \quad \frac{11}{20} \frac{41(\frac{b-a}{6})^7}{140} f^{(6)}(\xi)
5 \frac{1}{7} \quad \frac{2}{7} \quad \frac{3}{7} \quad \frac{4}{7} \quad \frac{6}{7} \frac{611}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad \frac{562}{1440} \quad -\frac{453}{1440} \quad\frac{611}{1440} \frac{5257(\frac{b-a}{7})^7}{8640} f^{(6)}(\xi)
6 \frac{1}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{4}{8} \quad \frac{6}{8} \quad \frac{7}{8} \frac{460}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{2459}{945} \quad \frac{2196}{945} \quad -\frac{954}{945} \quad \frac{460}{945} \frac{3956(\frac{b-a}{8})^9}{14175} f^{(8)}(\xi)

Für n = 5 gilt \textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{3252}{1440}=2.258333... Für n = 6 gilt \textstyle \sum_{i=0}^n |w_i|=\frac{9679}{945}=10.24...

Von diesen Formeln ist nur die Rechteckregel empfehlenswert. Die Formel für n = 1 hat bei höherem Aufwand die gleiche Ordnung wie die Rechteckregel, die höheren Formeln haben negative Gewichte.

Beispiel: \int_1^3 \frac{1}{x} dx = ln(3)-ln(1) = ln(3) = 1.0986123....

Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt h=\frac{b-a}{n+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} und x_0=a+h=\frac{3}{2}.

\int_1^3 p_2(x) dx =  2\cdot\bigg(\frac{2}{3}f(\frac{3}{2})-\frac{1}{3}f(\frac{4}{2})+\frac{2}{3}f(\frac{5}{2}\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5})\bigg)=\frac{49}{45}=1.0\overline{8}.

Verfahrensfehler: Mit f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5} erhält man E(f)=\frac{14}{45}\cdot\bigg(\frac{2}{4}\bigg)^5\cdot\frac{4!}{\xi^5}=\frac{7}{30}\cdot\frac{1}{\xi^5} mit \xi \in [1,3].

Fehlerabschätzung: |E(f)|\le \frac{7}{30}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}|\frac{1}{\xi^5}|=\frac{7}{30}\cdot\frac{1}{1}=0.2\overline{3} .

Exakter Fehler: |E(f)|=|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x) dx|=|1.0986123... - 1.0\overline{8}|= 0.009723399779...<0.2\overline{3}.

Maclaurin-Quadraturformeln[Bearbeiten]

Die Stützstellen t_i gelten für das Integrationsintervall [0,1]: t_0=\tfrac{1}{2n+2},t_i=\tfrac{2i+1}{2n+2},t_n=\tfrac{2n+1}{2n+2}. Für ein allgemeines Intervall [a,b] sind die Stützstellen x_i=a+t_i\cdot(b-a).

n Name Stützstellen x_i Gewichte w_i E(f)
0 Rechteckregel
Mittelpunktsregel
Tangententrapezregel
\frac{1}{2}  1 \quad \frac{(b-a)^{3}}{24} f^{''}(\xi)
1 \frac{1}{4} \quad \frac{3}{4} \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2} \frac{(\frac{b-a}{2})^3}{12} f^{''}(\xi)
2 \frac{1}{6} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{5}{6} \frac{3}{8} \quad \frac{2}{8} \quad \frac{3}{8} \frac{21(\frac{b-a}{3})^5}{640} f^{(4)}(\xi)
3 \frac{1}{8} \quad \frac{3}{8} \quad \frac{5}{8} \quad \frac{7}{8} \frac{13}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{11}{48} \quad \frac{13}{48} \frac{103(\frac{b-a}{4})^5}{1440} f^{(4)}(\xi)
4 \frac{1}{10} \quad \frac{3}{10} \quad \frac{5}{10} \quad \frac{7}{10} \quad \frac{9}{10} \frac{275}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{402}{1152} \quad \frac{100}{1152} \quad \frac{275}{1152} \frac{5575(\frac{b-a}{5})^7}{193536} f^{(6)}(\xi)

Für n = 6 gilt \sum_{i=0}^n |w_i|=1.363... Für n = 8 gilt \sum_{i=0}^n |w_i|=3.433...

Beispiel: \int_1^3 \frac{1}{x} dx = ln(3)-ln(1) = ln(3) = 1.0986123....

Näherung mit der Formel für n = 2. Es gilt h=\frac{b-a}{n+1}=\frac{2}{3} und x_0=a+\frac{h}{2}=\frac{4}{3}.

\int_1^3 p_2(x) dx = 2\cdot\bigg(\frac{3}{8}f(\frac{4}{3})+\frac{2}{8}f(\frac{6}{3})+\frac{3}{8}f(\frac{8}{3})\bigg) = 2\cdot\bigg(\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{4}+\frac{2}{8}\cdot\frac{3}{6}+\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{8}\bigg)=\frac{105}{96}=1.09375.

Verfahrensfehler: Mit f^{(4)}(\xi)=\frac{4!}{\xi^5} erhält man E(f)=\frac{21}{640}\cdot\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^5\cdot\frac{4!}{\xi^5}=\frac{14}{135}\cdot\frac{1}{\xi^5} mit \xi \in [1,3].

Fehlerabschätzung: |E(f)|\le \frac{14}{135}\cdot\max_{1\le \xi \le 3}|\frac{1}{\xi^5}|=\frac{14}{135}\cdot\frac{1}{1}=0.1\overline{037}.

Exakter Fehler: |E(f)|=|\int_1^3 \frac{1}{x}dx - \int_1^3 p_2(x) dx|=|1.0986123...- 1.09375|=0.000486229...<0.1\overline{037}.

Summierte Newton-Cotes-Formeln[Bearbeiten]

Ab Grad 8 treten bei vielen Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf, was die Gefahr der Auslöschung mit sich bringt. Außerdem kann man im Allgemeinen keine Konvergenz erwarten, da die Polynominterpolation schlecht konditioniert ist. Bei größeren Integrationsbereichen [a,b] unterteilt man diese daher in einzelne Teilintervalle und wendet auf jedes einzelne Teilintervall eine Formel niedriger Ordnung an.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8, S. 311-316.
  • Roland W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, S. 164-169.
  • Michael R. Schäferkotter, Prem K. Kythe: Handbook of Computational Methods for Integration. Chapman & Hall, Boca Raton 2005, ISBN 1-58488-428-2, S. 54-62, 503-505.
  • Günter Bärwolf: Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker. ISBN 978-3-8274-1689-6, Spektrum, München 2007, S. 128.
  • Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen : Verfahren, Beispiele, Anwendungen. ISBN 978-3-642-13472-2, Springer, Berlin und Heidelberg 2011.