Niveaumenge

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Niveaumengen (schwarze Linien) um einen Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen

In der Mathematik bezeichnet man mit Niveaumenge oder Levelmenge die Menge aller Punkte einer Funktion (eines Skalarfelds), denen der gleiche Wert zugeordnet ist.

Definition[Bearbeiten]

Es seien U \subseteq \R^n mit n \in \mathbb N eine offene Menge, f\colon U \to \R eine reellwertige Funktion und c \in \R ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

\mathcal N_f(c) := \{x\in U \mid f(x)=c\} \subseteq \R^n

die Niveaumenge der Funktion f zum Niveau bzw. Level c.[1] Es gilt also \mathcal N_f(c) = f^{-1}(c), das heißt, die Niveaumenge ist das Urbild von c unter f.

Als Subniveaumenge wird die Menge

\mathcal L_f(c) := \{x \in U \mid f(x) \leq c\}

bezeichnet, also \mathcal L_f(c) = f^{-1}(\left(-\infty,c\right]).

Anwendungen[Bearbeiten]

Physik[Bearbeiten]

Für zweidimensionale Skalarfelder ist diese Menge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien). Der Name leitet sich von der Bezeichnung Meeresniveau für die nahe dem mittleren Meeresspiegel verlaufende Äquipotentialfläche des Erdschwerefelds ab.
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für andere Kraftfelder wie einem elektrischen Feld oder einem Magnetfeld verwendet.

Wirtschaftswissenschaften[Bearbeiten]

Für eine Produktionsfunktion f\colon (0, \infty)^n \to (0, \infty) sowie ein Produktionsniveau c \in (0, \infty) ist \mathcal N_f(c) = f^{- 1}(c) die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge c generieren lässt. Die Menge \mathcal N_f(c) wird als Isoquante zum Produktionsniveau c bezeichnet.[2]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Carl Geiger, Christian Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 978-3-540-66220-4, S. 18 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2.  Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).