Niven-Konstante

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Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten n natürlichen Zahlen für n \to \infty.

Definition[Bearbeiten]

Es sei m>1 eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung m = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_k^{a_k} mit a_i > 0 und p_i \neq p_j für i \neq j, außerdem H\left(1\right) = 1 und H(m) = \max\{a_1,...,a_k\} das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m (Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen m mit H(m) = 1 genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n H(j).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion \zeta\left(k\right) ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):[1]

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n H(j)= 1 + \sum_{k=2}^\infty \biggl(1-\frac{1}{\zeta(k)}\biggr) = 1{,}70521\text{ }11401\text{ }05367\text{ }76428\text{ }85514\text{ }53434\text{ }50816\text{ }07620\text{ }27651\text{ }65346\text{ }... (Folge A033150 in OEIS)

Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

\sum_{j=1}^n h(j) = n + \frac{\zeta(\tfrac 32)}{\zeta(3)} \sqrt{n} + o(\sqrt{n}),

wobei h\left(1\right) = 1 und h(m) = \min\{a_1,...,a_k\} das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m (Folge A051904 in OEIS) und o ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n h(j) = 1.

Literatur[Bearbeiten]

  • Steven R. Finch: Niven’s constant, Kapitel 2.6 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)

Weblinks[Bearbeiten]