Noble Zahl

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Als noble Zahlen bezeichnet man solche irrationalen Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält.[1]

Sie sind eng mit der Goldenen Zahl \Phi verwandt und zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich besonders schwer durch rationale Zahlen approximieren lassen. Noble Zahlen werden in der Theorie der dynamischen Systeme verwendet.

Die „nobelste“ Zahl[Bearbeiten]

Der unendliche Kettenbruch für die Goldene Zahl ist:

\Phi = \frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5} \right) = 1 + \frac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}.

Die Goldene Zahl kann daher als die „nobelste“ Zahl bezeichnet werden – ihre Kettenbruchdarstellung enthält von Anfang an ausschließlich Einsen.

Abzählbarkeit[Bearbeiten]

Die Menge der noblen Zahlen ist eine Teilmenge der algebraischen Zahlen und daher abzählbar.

Ihre Abzählbarkeit ist auch anhand der Kettenbruchentwicklung leicht zu zeigen (rechts steht jeweils die Kurzschreibweise für einen regulären Kettenbruch):

Die Abbildung

[1] \rightarrow[\Phi]
[a_0] \rightarrow[a_0;\Phi]\;\; (1\ne a_0\in\mathbb{Z})
[a_0;a_1,\ldots,a_{n}] \rightarrow [a_0;a_1,\ldots,a_{n},\Phi]\quad(a_0\in \mathbb{Z}; a_k \in\mathbb{N}_{>0} \ \mathrm{f\ddot u r}\  1\le k \le n; a_{n}\ne 1;n>0)

von \mathbb{Q} auf die Menge der noblen Zahlen ist bijektiv.

Fast noble Zahlen[Bearbeiten]

Als fast noble Zahlen werden solche reellen Zahlen im Intervall [0,1] bezeichnet, deren Kettenbruchentwicklungen periodisch sind (die Periodenlänge sei mit p bezeichnet) und für die gilt: nach jeweils p-1 Einsen folgt eine feste natürliche Zahl n>1. Für jede fast noble Zahl u gilt daher

u=[0;1,1,\ldots,1,n,u^{-1}].

Literatur und Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Der Begriff stammt laut Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers, Math. Intell. 7 (1985) von I. C. Percival.