Normale Zahl

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Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes k \geq 1 alle möglichen k-stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.

Definition[Bearbeiten]

Sei b \geq 2 eine ganze Zahl und x eine beliebige reelle Zahl. Nun werde die Zahl x zur Basis b dargestellt (vgl. Zahlensystem). Zu jedem k-stelligen Ziffernblock B_k aus Ziffern zur Basis b bezeichne N(B_k,n) jene Anzahl, mit welcher der Ziffernblock B_k unter den ersten n Nachkommastellen von x auftritt.

Normale Zahl[Bearbeiten]

Die Zahl x heißt „normal“ zur Basis b genau dann, wenn

 \lim_{n\to\infty} \frac{N(B_k,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

für alle k \geq 1 und alle k-stelligen Ziffernblöcke B_k gilt.

Es lässt sich zeigen, dass eine Zahl x genau dann normal zur Basis b ist, wenn die Folge

(b^n x)_{n \geq 1} = b x, b^2 x, b^3 x, \dots

gleichverteilt modulo 1 ist.

Absolut normale Zahl[Bearbeiten]

Die Zahl x heißt „absolut normal“, wenn sie zu jeder Basis b \geq 2 normal ist.

Einfach normale Zahl[Bearbeiten]

Die Zahl x heißt „einfach normal“ zur Basis b, wenn sie die Bedingung einer normalen Zahl für k = 1 erfüllt, also für einstellige Ziffernblöcke (= Ziffern).

Beispielsweise ist die Zahl 1/3=0{,}\overline{01}_2 (periodischer Block von 01 in Basis 2) einfach normal in Basis 2, da die Ziffern 0 und 1 gleich häufig vorkommen.

Es gilt folgende Äquivalenz: die Zahl x ist genau dann normal zur Basis b, wenn sie einfach normal zu jeder der Basen b, b2, b3, … ist.[1]

Anzahl normaler Zahlen[Bearbeiten]

Der Begriff „normale Zahl“ wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Er bewies auch gleich mit Hilfe des Lemmas von Borel-Cantelli, dass fast alle (im Lebesgue-Sinn) reellen Zahlen normal bzw. sogar absolut normal sind.

Die Menge der nicht-normalen Zahlen ist allerdings überabzählbar, wie sich leicht anhand einer dem Cantor'schen Diskontinuum entsprechenden Konstruktion zeigen lässt.

Konstruktion normaler Zahlen[Bearbeiten]

Waclaw Sierpinski lieferte im Jahr 1917 die erste Konstruktion einer normalen Zahl. Verónica Becher and Santiago Figueira gaben 2002 einen Algorithmus zur Berechnung der von Sierpinski konstruierten Zahl an. Die Chaitinsche Konstante ist ein Beispiel einer nicht berechenbaren normalen Zahl.

David Gawen Champernowne gab im Jahr 1933 die erste explizite Konstruktion einer normalen Zahl an, die als Champernowne-Zahl bekannt ist. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen:

C10 = 0,12345678910111213141516…

Sie ist Folge A033307 in OEIS und wird gebildet durch "Aneinanderreihen" der natürlichen Zahlen zur Basis 10. Die Champernowne-Zahl ist nicht normal bezüglich einiger anderer Basen.

Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist ein weiteres Beispiel einer zur Basis 10 normalen Zahl, Folge A33308 in OEIS. Die ersten Dezimalstellen lauten:

CE10 = 0,235711131719232931374143…

Sie wird durch Aneinanderreihen aller Primzahlen zur Basis 10 gebildet.

Wolfgang Schmidt untersuchte 1960, unter welchen Bedingungen an r und s Zahlen, die zur Basis r normal sind, auch zur Basis s normal sind, und zeigte: Wenn \ln(r) / \ln(s) eine rationale Zahl ist (äquivalent: wenn es positive natürliche Zahlen m und n mit r^n=s^m gibt), dann ist jede zur Basis r normale Zahl auch zur Basis s normal. Die Umkehrung gilt ebenfalls, und sogar: Wenn \ln(r) / \ln(s) irrational ist, dann hat die Menge der Zahlen, die zur Basis r normal und zur Basis s nicht normal sind, die Mächtigkeit des Kontinuums.[2]

Nicht normale Zahlen[Bearbeiten]

Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Darstellung stets periodisch wird. Es gibt aber auch Konstruktionen irrationaler Zahlen, die zu keiner Basis normal sind (man nennt solche Zahlen „absolut abnormal“).

Kreiszahl \pi[Bearbeiten]

Es ist nicht bekannt, ob irrationale Zahlen im dezimalen System wie die Kreiszahl \pi, \sqrt{2}, die Eulersche Konstante e oder der natürliche Logarithmus der Zahl 2 normal sind oder nicht.

Von den Mathematikern David H. Bailey und Richard E. Crandall wurde im Jahr 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung aufgestellt, dass jede irrationale algebraische Zahl normal sein könnte.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe Seiten 5 und 12 in der Diplomarbeit von Christoph Aistleitner.
  2. Wolfgang M. Schmidt: On normal numbers. Pacific Journal of Mathematics 10, 1960, S. 661–672 (online, ZMath-Review).

Literaturangaben[Bearbeiten]

  • Ivan Niven: Irrational Numbers. Carus Math. Monographs, John Wiley and Sons Inc., 1956.
  • Lauwerens Kuipers, Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience Publ., 1974.
  • David H. Bailey, Richard E. Crandall: On the Random Character of Fundamental Constant Expansions, in: Experimental Mathematics 10 (2001), S. 175–190 (Online; PDF-Datei; 279 kB)
  • Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247–271
  • David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten, in: Journal of the London Mathematical Society, 8 (1933), S. 254–260
  • Waclaw Sierpinski: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre, in: Bull. Soc. Math. France, 45 (1917), S. 125–144
  • Verónica Becher, Santiago Figueira: An example of a computable absolutely normal number, in: Theoretical Computer Science, 270 (2002), S. 947–958 (www-2.dc.uba.ar/profesores/becher/becherTCS2002.pdf)
  • Christoph Aistleitner: Normale Zahlen, Diplomarbeit, Technische Universität Wien, 2006, Online (PDF-Datei; 795 kB)