Nulldimensionaler Raum

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Nulldimensionaler Raum ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um Räume der topologischen Dimension 0, wobei dies vom verwendeten Dimensionsbegriff abhängt.

Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum X heißt null-dimensional, falls er bezüglich der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension oder bezüglich der kleinen oder großen induktiven Dimension null-dimensional ist, das heißt in Formeln:

  • \mathrm{dim}(X)=0 (Lebesgue'sche Überdeckungsdimension)
  • \mathrm{Ind}(X)=0 (große induktive Dimension)
  • \mathrm{ind}(X)=0 (kleine induktive Dimension)

Beziehungen[Bearbeiten]

Ist aus dem Zusammenhang nicht klar, welche Dimension gemeint ist, so sagt man sie dazu. In vielen Fällen ist das aber nicht nötig, denn es gilt:

Im wichtigen Fall kompakter Hausdorffräume X sind folgende Aussagen äquivalent:[2]

Im Allgemeinen liegen aber nicht so einfache Verhältnisse vor, denn es gibt total unzusammenhängende, metrisierbare, separable Räume mit \mathrm{dim}(X)>0[3] und es gibt normale Räume mit \mathrm{ind}(X)=0, \mathrm{dim}(X)=1 und \mathrm{Ind}(X)=2[4].

Jedenfalls sind nulldimensionale Hausdorffräume Räume gleich welcher Art total unzusammenhängend, die Umkehrung gilt nach obigen Bemerkungen nicht, wohl aber für lokalkompakte Räume.[5]

Offen-abgeschlossene Mengen[Bearbeiten]

Direkt aus den Definitionen folgt, dass ein Hausdorffraum genau dann die kleine induktive Dimension 0 hat, wenn er eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen hat. Daher findet man auch diese Eigenschaft als Definition eines nulldimensionalen Raum, so zum Beispiel in [6]. Im wichtigen Fall kompakter Hausdorffräume fällt auch dieser Begriff mit den oben genannten zusammen.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–3.
  2. Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 8–4 und Satz 8–6.
  3. Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Satz 9–12.
  4. Keiô Nagami: Dimension Theory. Academic Press, New York NY u. a. 1970, ISBN 0-12-513650-1 (Pure and Applied Mathematics 37), Kapitel 19.
  5. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 6, Aufgabe 7.
  6. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover Pubn Inc., New York 1995, ISBN 0-486-68735-X.