Nullfolgenkriterium

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Das Nullfolgenkriterium, auch Trivialkriterium oder Divergenzkriterium, ist in der Mathematik ein Konvergenzkriterium, nach dem eine Reihe divergiert, wenn die Folge ihrer Summanden keine Nullfolge ist. Das Nullfolgenkriterium bildet damit eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

Kriterium[Bearbeiten]

Das Nullfolgenkriterium lautet:

Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe.

Gilt also für die Summanden a_i einer Reihe \textstyle \sum\limits_{i=1}^\infty a_i

\lim_{i \to \infty} a_i \neq 0

oder existiert dieser Grenzwert nicht, dann konvergiert die Reihe nicht. Im Gegensatz zu anderen Konvergenzkriterien kann mit dem Nullfolgenkriterium lediglich bewiesen werden, dass eine Reihe divergiert und nicht ob sie konvergiert. Beispielsweise konvergiert die harmonische Reihe nicht, obwohl ihre Summanden eine Nullfolge bilden.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Reihe

\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i+1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \ldots

divergiert, denn

\lim_{i \to \infty} \frac{i}{i+1} = 1 \neq 0.

Die alternierende Reihe

\sum_{i=1}^\infty (-1)^i = -1 + 1 - 1 \pm \ldots

divergiert ebenfalls, denn der Grenzwert

\lim_{i \to \infty} (-1)^i

existiert nicht.

Beweis[Bearbeiten]

Der Beweis des Nullfolgenkriteriums erfolgt typischerweise durch Kontraposition, das heißt durch Umkehrung der Aussage

Konvergiert eine Reihe, dann bildet die Folge der Summanden eine Nullfolge.

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen (s_n)_{n \in \N} mit

s_n = \sum_{i=1}^n a_i

konvergiert, das heißt es existiert ein Grenzwert s, sodass

\lim_{n \to \infty} s_n = s.

Durch Umstellung der Reihe und mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt dann

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} s_n - \lim_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0.

Nachdem die Folge der Summanden für jede konvergente Reihe eine Nullfolge bilden muss, divergiert eine Reihe, wenn dies nicht der Fall ist.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]