Nullteiler

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Wechseln zu: Navigation, Suche

In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element a, für das es ein vom Nullelement 0 verschiedenes Element b gibt, so dass ab = 0.

[Bearbeiten] Definition

Ist R ein Ring und a \in R\setminus \{0\}, dann unterscheidet man zwischen:

  • Linksnullteiler: Es gibt ein Element b \in R\setminus \{0\}, so dass ab = 0.
  • Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element b \in R\setminus \{0\}, so dass ba = 0.
  • (zweiseitiger) Nullteiler: a ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
  • Linksnichtnullteiler: a ist kein Linksnullteiler.
  • Rechtsnichtnullteiler: a ist kein Rechtsnullteiler.
  • (zweiseitiger) Nichtnullteiler: a ist weder Links- noch Rechtsnullteiler.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen alle sechs Begriffe schlicht zu Nullteiler und Nichtnullteiler zusammen.

Ist R \neq \{0\}, dann ist 0 stets Nullteiler, und man nennt von 0 verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt. Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement 1 \neq 0 heißt Integritätsring.

[Bearbeiten] Beispiele

Der Ring \mathbb{Z} der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring \mathbb{Z}^2 (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler (0,1) und (1,0), denn (0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0).

Jeder Körper ist nullteilerfrei.

Der Restklassenring \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn 2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6.

Allgemein ist für eine natürliche Zahl n > 1 der Restklassenring \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn n eine Primzahl ist.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

denn

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n\times n Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

[Bearbeiten] Eigenschaften

In Ringen ist ein Element genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es Links-, Rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist.

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus a2 = a folgt a \cdot (a - 1) = (a - 1) \cdot a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 (x mit xn = 0 für ein n \in \mathbb{N}) sind trivialerweise Nullteiler.

Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre a invertierbar und ab = 0, dann wäre 0= a^{-1} \cdot 0 = a^{-1}ab = b.

In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement (1 \cdot a = a \cdot 1 = a für alle a) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)

Ist a ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich null. Das Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da AB = E die Einheitsmatrix ist).

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Nullteiler“
Persönliche Werkzeuge
Buch erstellen